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2 • Opérateurs linéaires
En conséquence, (A
−1
⊗ B
−1 ) est l’opérateur inverse de (A ⊗ B), soit :
(A ⊗ B)
−1 = A
−1
⊗ B
−1
(2.1.46)
c) Produit scalaire
Soient les produits scalaires c k , c i et w l , w j définis respectivement dans les
espaces E p et E q . Soient h kl = c k ⊗ w l et h ij = c i ⊗ w j des vecteurs de E p ⊗ E q .
Par définition, le produit scalaire dans l’espace E p ⊗ E q est le nombre :
h kl , h ij = (c k ⊗ w l ), (c i ⊗ w j ) = c k , c i w l , w j
(2.1.47)
2.2 VECTEURS ET VALEURS PROPRES
2.2.1 Définitions
Soit A un opérateur linéaire. Si c est un vecteur tel que :
Ac = lc
(2.2.1)
on dit que c est un vecteur propre de l’opérateur A ; le nombre l est appelé la valeur
propre de A relative au vecteur propre c. L’ensemble des valeurs propres de l’opérateur A constitue le spectre de l’opérateur ; ce spectre peut être discret ou continu.
Lorsqu’à une même valeur propre correspondent plusieurs vecteurs propres, on
dit que la valeur propre est dégénérée. Le nombre de vecteurs propres associés à une
valeur propre est l’ordre de la dégénérescence.
Considérons deux vecteurs propres c et f associés à une même valeur propre l et
vérifiant l’équation aux valeurs propres ; on a :
Ac = lc ; Af = lf
(2.2.2)
Multipliant respectivement ces équations par a et b, puis faisant leur somme, on
obtient :
aAc + bAf = A(ac + bf) = l(ac + bf)
( 2 .2.3)
Cette dernière relation montre que toute combinaison linéaire ac + bf de vecteurs
propres associés à une même valeur propre l est encore un vecteur propre de A
associé à la même valeur propre l.
L’ensemble E l des vecteurs propres associés à l forme donc un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel E A formé par tous les vecteurs propres de A. L’espace E l
est appelé le sous-espace propre associé à l. La dimension de E l est égale à l’ordre
de la dégénérescence de l.
2.2.2 Opérateurs hermitiens
Théorème 1. Toutes les valeurs propres d’un opérateur hermitien sont réelles.
2 • Opérateurs linéaires
En conséquence, (A
−1
⊗ B
−1 ) est l’opérateur inverse de (A ⊗ B), soit :
(A ⊗ B)
−1 = A
−1
⊗ B
−1
(2.1.46)
c) Produit scalaire
Soient les produits scalaires c k , c i et w l , w j définis respectivement dans les
espaces E p et E q . Soient h kl = c k ⊗ w l et h ij = c i ⊗ w j des vecteurs de E p ⊗ E q .
Par définition, le produit scalaire dans l’espace E p ⊗ E q est le nombre :
h kl , h ij = (c k ⊗ w l ), (c i ⊗ w j ) = c k , c i w l , w j
(2.1.47)
2.2 VECTEURS ET VALEURS PROPRES
2.2.1 Définitions
Soit A un opérateur linéaire. Si c est un vecteur tel que :
Ac = lc
(2.2.1)
on dit que c est un vecteur propre de l’opérateur A ; le nombre l est appelé la valeur
propre de A relative au vecteur propre c. L’ensemble des valeurs propres de l’opérateur A constitue le spectre de l’opérateur ; ce spectre peut être discret ou continu.
Lorsqu’à une même valeur propre correspondent plusieurs vecteurs propres, on
dit que la valeur propre est dégénérée. Le nombre de vecteurs propres associés à une
valeur propre est l’ordre de la dégénérescence.
Considérons deux vecteurs propres c et f associés à une même valeur propre l et
vérifiant l’équation aux valeurs propres ; on a :
Ac = lc ; Af = lf
(2.2.2)
Multipliant respectivement ces équations par a et b, puis faisant leur somme, on
obtient :
aAc + bAf = A(ac + bf) = l(ac + bf)
( 2 .2.3)
Cette dernière relation montre que toute combinaison linéaire ac + bf de vecteurs
propres associés à une même valeur propre l est encore un vecteur propre de A
associé à la même valeur propre l.
L’ensemble E l des vecteurs propres associés à l forme donc un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel E A formé par tous les vecteurs propres de A. L’espace E l
est appelé le sous-espace propre associé à l. La dimension de E l est égale à l’ordre
de la dégénérescence de l.
2.2.2 Opérateurs hermitiens
Théorème 1. Toutes les valeurs propres d’un opérateur hermitien sont réelles.