2.1 Types d’opérateurs linéaires
33
➤ Dérivée d’un opérateur
Soit A(a) un opérateur dépendant d’un paramètre continu a. Par définition, la dérivée
par rapport à a, de A(a), est notée dA/da et donnée par la limite :
dA
da
= lim
Da→0
A(a + Da) − A(a)
Da
(2.1.41)
sous la condition que cette limite existe.
2.1.7 Espace produit tensoriel
Soient deux espaces vectoriels E p et E q de dimensions respectives p et q. Notons c i
les vecteurs de E p et f j les vecteurs de E q ; soient {u k } et {v l } les bases respectives
de ces espaces. Notons E pq = E p ⊗ E q l’espace produit tensoriel
½ des espaces E p
et E q .
a) Produit tensoriel d’opérateurs
Soient deux opérateurs linéaires A et B agissant respectivement dans E p et E q . Par
définition, l’opérateur C = A ⊗ B est l’opérateur qui, agissant sur un vecteur c ⊗ f
de l’espace E pq , donne le vecteur :
C(c ⊗ f) = (A ⊗ B)(c ⊗ f) = (Ac) ⊗ (Bf)
( 2 .1.42)
L’opérateur A ⊗ B est le produit tensoriel des opérateurs A et B. En particulier, si A
est l’opérateur unité, noté 1 1 p , agissant dans l’espace E p , on obtient :
(11 p ⊗ B)(c ⊗ f) = (11 p c) ⊗ (Bf) = c ⊗ (Bf)
( 2 .1.43)
L’opérateur (11 p ⊗ B) est appelé le prolongement de B dans E pq . De même, le prolongement de A dans l’espace E pq est l’opérateur (A ⊗ 1 1 q ), où 1 1 q est l’opérateur unité
agissant dans l’espace E q .
b) Propriétés
Considérons les opérateurs A 1 A 2 et B 1 B 2 opérant respectivement dans E p et E q . La
définition (2.1.42) nous donne :
(A 1 A 2 ⊗ B 1 B 2 )(c ⊗ f) = A 1 (A 2 c) ⊗ B 1 (B 2 f) = (A 1 ⊗ B 1 )(A 2 c ⊗ B 2 f)
= (A 1 ⊗ B 1 )(A 2 ⊗ B 2 )(c ⊗ f)
( 2 .1.43)
Le vecteur (c ⊗ f) étant quelconque, on obtient :
A 1 A 2 ⊗ B 1 B 2 = (A 1 ⊗ B 1 )(A 2 ⊗ B 2 )
( 2 .1.44)
Utilisant cette dernière relation, on obtient l’opérateur inverse d’un produit tensoriel
d’opérateurs A ⊗ B en écrivant :
(A ⊗ B)(A
−1
⊗ B
−1 ) = (AA
−1 ) ⊗ (BB
−1 ) = 1 1 p ⊗ 1 1 q = 1 1 pq
(2.1.45)
1. J. HLADIK et P. E. HLADIK. Le calcul tensoriel en physique. 3 e éd. Dunod (1999).
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➤ Dérivée d’un opérateur
Soit A(a) un opérateur dépendant d’un paramètre continu a. Par définition, la dérivée
par rapport à a, de A(a), est notée dA/da et donnée par la limite :
dA
da
= lim
Da→0
A(a + Da) − A(a)
Da
(2.1.41)
sous la condition que cette limite existe.
2.1.7 Espace produit tensoriel
Soient deux espaces vectoriels E p et E q de dimensions respectives p et q. Notons c i
les vecteurs de E p et f j les vecteurs de E q ; soient {u k } et {v l } les bases respectives
de ces espaces. Notons E pq = E p ⊗ E q l’espace produit tensoriel
½ des espaces E p
et E q .
a) Produit tensoriel d’opérateurs
Soient deux opérateurs linéaires A et B agissant respectivement dans E p et E q . Par
définition, l’opérateur C = A ⊗ B est l’opérateur qui, agissant sur un vecteur c ⊗ f
de l’espace E pq , donne le vecteur :
C(c ⊗ f) = (A ⊗ B)(c ⊗ f) = (Ac) ⊗ (Bf)
( 2 .1.42)
L’opérateur A ⊗ B est le produit tensoriel des opérateurs A et B. En particulier, si A
est l’opérateur unité, noté 1 1 p , agissant dans l’espace E p , on obtient :
(11 p ⊗ B)(c ⊗ f) = (11 p c) ⊗ (Bf) = c ⊗ (Bf)
( 2 .1.43)
L’opérateur (11 p ⊗ B) est appelé le prolongement de B dans E pq . De même, le prolongement de A dans l’espace E pq est l’opérateur (A ⊗ 1 1 q ), où 1 1 q est l’opérateur unité
agissant dans l’espace E q .
b) Propriétés
Considérons les opérateurs A 1 A 2 et B 1 B 2 opérant respectivement dans E p et E q . La
définition (2.1.42) nous donne :
(A 1 A 2 ⊗ B 1 B 2 )(c ⊗ f) = A 1 (A 2 c) ⊗ B 1 (B 2 f) = (A 1 ⊗ B 1 )(A 2 c ⊗ B 2 f)
= (A 1 ⊗ B 1 )(A 2 ⊗ B 2 )(c ⊗ f)
( 2 .1.43)
Le vecteur (c ⊗ f) étant quelconque, on obtient :
A 1 A 2 ⊗ B 1 B 2 = (A 1 ⊗ B 1 )(A 2 ⊗ B 2 )
( 2 .1.44)
Utilisant cette dernière relation, on obtient l’opérateur inverse d’un produit tensoriel
d’opérateurs A ⊗ B en écrivant :
(A ⊗ B)(A
−1
⊗ B
−1 ) = (AA
−1 ) ⊗ (BB
−1 ) = 1 1 p ⊗ 1 1 q = 1 1 pq
(2.1.45)
1. J. HLADIK et P. E. HLADIK. Le calcul tensoriel en physique. 3 e éd. Dunod (1999).