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2 • Opérateurs linéaires
2.1.5 Opérateurs unitaires
Un opérateur A est unitaire s’il vérifie les relations suivantes :
AA
† = A
† A = 1 1
(2.1.33)
Une importante propriété des opérateurs unitaires est qu’ils conservent le produit
scalaire, c’est-à-dire qu’ils vérifient la propriété :
Ac, Af = c, f
(2.1.34)
En effet la définition de l’opérateur unitaire permet d’écrire :
Ac, Af = c, A
† Af = c, f
(2.1.35)
➤ Autres propriétés
Le produit de deux opérateurs unitaires A et B est un opérateur unitaire. En effet,
posant C = AB, il vient :
C
† C = B
† A
† A B = B
† B = 1 1
(2.1.36)
et on vérifie de même que C C
† = 1 1. Un opérateur unitaire peut toujours s’écrire
comme la somme :
A = B + i C
(2.1.37)
où B et C sont deux opérateurs hermitiens qui commutent et qui sont donnés par :
B = (A + A
† )/2 ; C = i(A
†
− A)/2.
2.1.6 Fonction d’opérateur
Considérons une fonction F(x) d’une variable x et supposons qu’on puisse exprimer
F(x) sous forme d’une série :
F(x) =
∞
n=0
a n x
n
(2.1.38)
Remplaçant dans cette série la variable x par un opérateur A, on obtient une somme
d’opérateurs qu’on note F(A) :
F(A) =
∞
n=0
a n A
n
(2.1.39)
On utilise le même symbole que celui qui note la fonction F(x) lorsque les coefficients a n sont identiques, pour F(A), à ceux de F(x). Ainsi, par exemple, l’opérateur
exp(A) est défini par la série :
e
A =
∞
n=0
A
n
n!
(2.1.40)
Pour que l’opérateur F(A) existe, il faut que la série (2.1.39) converge, ce qui dépend
des valeurs propres de A et du rayon de convergence de F(x).