2.1 Types d’opérateurs linéaires
31
2.1.4 Opérateurs hermitiens
Un opérateur A est dit hermitien s’il coïncide avec son adjoint ; on dit également qu’il
est autoadjoint. Les opérateurs hermitiens sont donc tels que :
A = A
†
(2.1.25)
a) Propriétés
La somme de deux opérateurs hermitiens est également un opérateur hermitien, de
même que le produit d’un opérateur hermitien par un nombre réel. En général, le
produit de deux opérateurs hermitiens A et B n’est pas un opérateur hermitien, car on
a :
(AB)
† = B
† A
† = BA = AB
(2.1.26)
Par contre, si deux opérateurs hermitiens commutent, la relation précédente montre
que leur produit est hermitien.
Si A est un opérateur hermitien inversible, alors son inverse A
−1 est également
hermitien. En effet, posons c
= A
−1 c, f = A −1 f ; alors :
c
, Af
= A
† c
, f
= Ac
, f
(2.1.27)
Puisque c = Ac
et f = Af
, les premier et dernier membres de (2.1.27) s’écrivent :
A
−1 c, f = c, A
−1 f
(2.1.28)
Cette dernière relation montre qu’on a : (A
−1 )
† = A
−1 et que par suite A
−1 est un
opérateur hermitien. On appelle opérateur antihermitien un opérateur tel que :
A
† = −A
(2.1.29)
Multipliant par le nombre imaginaire i un opérateur antihermitien, on obtient un
opérateur hermitien. En effet, la propriété (2.1.22) nous donne :
(iA)
† = −i A
† = i A
(2.1.30)
b) Produit scalaire
La définition (2.1.16) d’un opérateur adjoint nous permet d’écrire, pour un opérateur
hermitien A :
c, Af = Ac, f = f, Ac
∗
(2.1.31)
Si A est un opérateur hermitien et B un opérateur quelconque, on obtient pour expression du produit scalaire :
Ac, Bf = c, A
† Bf = c, ABf
(2.1.32)