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2 • Opérateurs linéaires
2.1.3 Opérateur adjoint
Soit E un espace vectoriel hermitien et soit A un opérateur linéaire sur E . S’il existe
un opérateur linéaire A
† sur E tel qu’on ait :
c, Af = A
† c, f
(2.1.16)
quels que soient les vecteurs c et f de E , on dit que A
† est l’opérateur adjoint de
A. La notion d’opérateur adjoint dépend donc essentiellement du produit scalaire
particulier qu’on choisit sur E .
a) Propriétés
Si A
† est l’adjoint de l’opérateur A, alors réciproquement l’adjoint de A
† est l’opérateur A. En effet, effectuons le produit scalaire :
c, A
† f
(2.1.17)
Utilisant la propriété (2.1.9) du produit scalaire, l’expression (2.1.17) devient :
c, A
† f = A
† f, c
∗ = f, Ac
∗ = Ac, f
(2.1.18)
Cette dernière relation montre que A est l’opérateur adjoint de A
† , d’où :
(A
† )
† = A
(2.1.19)
Si A est un opérateur linéaire ayant pour adjoint A
† , démontrons que l
∗ A
† est l’adjoint de l’opérateur lA. Selon la définition d’un opérateur adjoint, on a :
c, lAf = (lA)
† c, f
(2.1.20)
D’autre part, les propriétés du produit scalaire (2.1.14) et de l’opérateur adjoint, nous
donnent :
c, lAf = lc, Af = lA
† c, f = l
∗ A
† c, f
(2.1.21)
Comparant les relations (2.1.20) et (2.1.21), on obtient :
(lA)
† = l
∗ A
†
(2.1.22)
b) Addition et multiplication des opérateurs adjoints
Si A
† et B
† sont respectivement les adjoints de A et B, alors l’opérateur (A
† + B
† ) est
l’adjoint de (A + B). Cette propriété résulte immédiatement de la linéarité (2.1.10) du
produit scalaire.
Considérons également le produit AB ; on a :
c, ABf = A
† c, Bf = B
† A
† c, f
(2.1.23)
Cette dernière relation montre que l’adjoint de l’opérateur AB est l’opérateur
B
† A
† ; on a donc :
(AB)
† = B
† A
†
(2.1.24)
L’adjoint d’un produit d’opérateurs est égal au produit des adjoints pris dans l’ordre
inverse.