2.1 Types d’opérateurs linéaires
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a) Définitions
On appelle produit scalaire sur un espace vectoriel E , une correspondance qui à tout
couple (c, f) de deux vecteurs de E associe un nombre complexe, noté c, f,
satisfaisant aux propriétés suivantes :
– si l’on note par le symbole * le complexe conjugué d’un nombre, on a :
c, f = f, c
∗
(2.1.9)
– si c, f, h sont des vecteurs de E , le produit scalaire est distributif par rapport à
l’addition vectorielle :
c, f + h = c, f + c, h
(2.1.10)
– si l est un nombre complexe, on a :
c, lf = lc, f
(2.1.11)
– le produit scalaire est dit défini positif si l’on a :
c, c > 0 si c = 0
( 2 .1.12)
Un espace vectoriel complexe muni d’un produit scalaire défini positif est appelé un
espace préhilbertien ou encore un espace hermitien.
b) Propriétés du produit scalaire
Si pour tous c et f différents du vecteur nul, on a :
c, f = 0
( 2 .1.13)
on dit que les vecteurs c et f sont orthogonaux.
D’autre part, les propriétés (2.1.9) et (2.1.11) donnent :
lc, f = f, lc
∗ = (lf, c)
∗ = l
∗
f, c
∗ = l
∗
c, f
(2.1.14)
Lorsque le produit d’un vecteur par un nombre complexe est situé à gauche dans
l’expression du produit scalaire, il faut prendre le complexe conjugué de ce nombre
pour le sortir du produit scalaire. Remarquons qu’en mathématique, le produit scalaire est défini avec la propriété : lc, f = lc, f, alors que les physiciens ont
choisi la propriété : lc, f = l
∗
c, f
La norme d’un vecteur est définie par :
c =
c, c
(2.1.15)
C’est un nombre réel. En effet, selon la propriété (2.1.9), on a : c, c = c, c
∗ ,
ce qui montre que c, c est un nombre réel ; comme de plus c, c > 0, la racine
carrée donne un nombre réel.
Un espace vectoriel muni d’une norme est appelé un espace vectoriel normé.