28
2 • Opérateurs linéaires
a) Addition et multiplication des opérateurs
Soient A et B deux opérateurs linéaires qui, à un vecteur c, font correspondre respectivement les vecteurs Ac et Bc. Par définition, la somme des opérateurs A et B,
notée A + B, est un opérateur qui à c fait correspondre le vecteur Ac + Bc, vecteur
noté (A + B)c.
Le produit de deux opérateurs A et B, noté AB, est un opérateur qui, à un vecteur
c, fait correspondre le vecteur noté ABc tel que :
ABc = A(Bc)
( 2 .1.3)
Cette dernière relation signifie que pour obtenir ABc, on fait d’abord agir B sur c,
ce qui donne le vecteur Bc, puis on fait agir A sur le vecteur Bc.
b) Inverse d’un opérateur
Si l’opérateur A appliqué au vecteur c donne un vecteur c
, l’opérateur qui fait passer
du vecteur c
au vecteur c s’appelle l’opérateur inverse de A et on le note A
−1 . On a
donc :
c = A
−1 c
= A
−1 (Ac) = A
−1 Ac
(2.1.4)
Le produit A
−1 A est donc égal à l’opérateur unité ou identité et qu’on notera par le
symbole 1 1, d’où :
A
−1 A = 1 1
(2.1.5)
Puisqu’on a également : c
= Ac = A(A
−1 c
), l’opérateur A
−1 vérifie également la
relation :
AA
−1 = 1 1
(2.1.6)
Alors que tous les nombres, autres que zéro, possèdent un inverse, un opérateur non
nul peut ne pas admettre d’inverse.
c) Commutateur de deux opérateurs
Une propriété importante distingue le produit des nombres de celui des opérateurs.
En général, deux opérateurs A et B ne commutent pas entre eux, c’est-à-dire qu’on a :
AB = BA
(2.1.7)
Par définition, le commutateur de deux opérateurs A et B est l’opérateur, noté [A, B],
tel que :
[A, B] = AB − BA
(2.1.8)
Si le commutateur est nul, on a : AB = BA et on dit que les opérateurs commutent
entre eux.
2.1.2 Produit scalaire
Les vecteurs c d’un espace vectoriel E peuvent être à valeurs complexes. La notion
de produit scalaire permet de définir la norme d’un vecteur complexe ainsi que la
notion d’angle entre deux vecteurs.