Chapitre 2
Opérateurs linéaires
Les idées fondamentales de la mécanique quantique vont être formalisées en utilisant
un symbolisme qui permet une simplification et une généralisation des principes de
base. Ce formalisme ne doit cependant pas faire oublier le contenu physique qu’il
représente et qui constitue l’essentiel.
Nous avons séparé, dans la mesure du possible, dans des chapitres distincts, les
développements purement mathématiques de ceux qui se rapportent à la physique
quantique. Ces chapitres consistent essentiellement en définitions et résultats mathématiques renvoyant à des ouvrages spécialisés.
2.1 TYPES D’OPÉRATEURS LINÉAIRES
2.1.1 Définitions
On appelle opérateur un être mathématique qui transforme un élément d’un ensemble en un autre élément de ce même ensemble.
Soit E un espace vectoriel à n dimensions sur le corps des nombres complexes.
À tout vecteur c de E , faisons correspondre un vecteur c
de E que nous noterons :
c
= Ac
(2.1.1)
Le symbole A représente l’opérateur qui réalise ainsi une application de E sur luimême ou sur une partie de lui-même. Un opérateur A est appelé un opérateur linéaire
si, quels que soient les vecteurs c et f de E , et les nombres complexes l 1 et l 2 , on a :
A(l 1 c + l 2 f) = l 1 Ac + l 2 Af
(2.1.2)
On notera par la suite les opérateurs linéaires par des lettres majuscules en italique.
Opérateurs linéaires
Les idées fondamentales de la mécanique quantique vont être formalisées en utilisant
un symbolisme qui permet une simplification et une généralisation des principes de
base. Ce formalisme ne doit cependant pas faire oublier le contenu physique qu’il
représente et qui constitue l’essentiel.
Nous avons séparé, dans la mesure du possible, dans des chapitres distincts, les
développements purement mathématiques de ceux qui se rapportent à la physique
quantique. Ces chapitres consistent essentiellement en définitions et résultats mathématiques renvoyant à des ouvrages spécialisés.
2.1 TYPES D’OPÉRATEURS LINÉAIRES
2.1.1 Définitions
On appelle opérateur un être mathématique qui transforme un élément d’un ensemble en un autre élément de ce même ensemble.
Soit E un espace vectoriel à n dimensions sur le corps des nombres complexes.
À tout vecteur c de E , faisons correspondre un vecteur c
de E que nous noterons :
c
= Ac
(2.1.1)
Le symbole A représente l’opérateur qui réalise ainsi une application de E sur luimême ou sur une partie de lui-même. Un opérateur A est appelé un opérateur linéaire
si, quels que soient les vecteurs c et f de E , et les nombres complexes l 1 et l 2 , on a :
A(l 1 c + l 2 f) = l 1 Ac + l 2 Af
(2.1.2)
On notera par la suite les opérateurs linéaires par des lettres majuscules en italique.