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1 • Sources de la mécanique quantique
L’état C(x, p/v) est, à un facteur de phase près, égal à C G (x). L’état C(x, t) représente donc
l’état d’une particule qui oscille de droite à gauche à la pulsation v.
Cela signifie, en ce qui concerne l’ammoniac, que la molécule, initialement préparée dans un
des deux puits du poteniel, se retourne périodiquement, de part et d’autre du plan P, passant
par l’atome d’azote, avec la fréquence n = v/2p. La fréquence de retournement est égale à :
n =
E A − E S
h
23 GHz
(20)
La longueur d’onde correspondante est l ≈ 1, 25 cm, et se trouve donc dans le domaine des
micro-ondes.
Exercice 1.3. Atome de Bohr
1. Dans le modèle de l’atome de Bohr, un électron tourne autour du proton
selon une trajectoire circulaire de rayon a 0 = 0, 529 × 10
−10 m. Écrire
l’équation d’équilibre de ce mouvement selon la mécanique classique. En
déduire la vitesse de l’électron. Comparer avec la vitesse de la lumière.
2. Calculer le champ électrique créé par un proton à une distance égale
à a 0 .
Solution.
1. L’équilibre entre la force centrifuge et l’attraction électrostatique s’écrit :
m e v
2
a 0
=
e
2
0
4p´ 0 a 2
0
(1)
où m e est la masse de l’électron et v sa vitesse. On obtient :
v = 2, 187 × 10
6 m s
−1
(2)
Cette vitesse est relativement faible par rapport à celle de la lumière puisqu’on a :
a =
v
c
1
137
(3)
où a est la constante de structure fine. Les effets relativistes sont donc assez faibles dans
l’atome d’hydrogène, ce qui permet d’établir une équation d’onde non relativiste donnant, en
première approximation, de très bons résultats.
2. Selon le théorème de Gauss, le flux du champ électrique E à travers une sphère de rayon
a 0 est donné par :
E4pa
2
0 = e 0 /´ 0 d’où E = 5, 14 × 10
11 V m
−1
(4)
Le champ subi par les électrons dans un atome est extrêmement élevé.
1 • Sources de la mécanique quantique
L’état C(x, p/v) est, à un facteur de phase près, égal à C G (x). L’état C(x, t) représente donc
l’état d’une particule qui oscille de droite à gauche à la pulsation v.
Cela signifie, en ce qui concerne l’ammoniac, que la molécule, initialement préparée dans un
des deux puits du poteniel, se retourne périodiquement, de part et d’autre du plan P, passant
par l’atome d’azote, avec la fréquence n = v/2p. La fréquence de retournement est égale à :
n =
E A − E S
h
23 GHz
(20)
La longueur d’onde correspondante est l ≈ 1, 25 cm, et se trouve donc dans le domaine des
micro-ondes.
Exercice 1.3. Atome de Bohr
1. Dans le modèle de l’atome de Bohr, un électron tourne autour du proton
selon une trajectoire circulaire de rayon a 0 = 0, 529 × 10
−10 m. Écrire
l’équation d’équilibre de ce mouvement selon la mécanique classique. En
déduire la vitesse de l’électron. Comparer avec la vitesse de la lumière.
2. Calculer le champ électrique créé par un proton à une distance égale
à a 0 .
Solution.
1. L’équilibre entre la force centrifuge et l’attraction électrostatique s’écrit :
m e v
2
a 0
=
e
2
0
4p´ 0 a 2
0
(1)
où m e est la masse de l’électron et v sa vitesse. On obtient :
v = 2, 187 × 10
6 m s
−1
(2)
Cette vitesse est relativement faible par rapport à celle de la lumière puisqu’on a :
a =
v
c
1
137
(3)
où a est la constante de structure fine. Les effets relativistes sont donc assez faibles dans
l’atome d’hydrogène, ce qui permet d’établir une équation d’onde non relativiste donnant, en
première approximation, de très bons résultats.
2. Selon le théorème de Gauss, le flux du champ électrique E à travers une sphère de rayon
a 0 est donné par :
E4pa
2
0 = e 0 /´ 0 d’où E = 5, 14 × 10
11 V m
−1
(4)
Le champ subi par les électrons dans un atome est extrêmement élevé.