Exercices
25
3. Lorsque E U 0 , on a : k ≈
2mU 0 / et k devient une grandeur donnée. Les équations
(8) et (9) s’écrivent respectivement :
tan ka = −´ S ka ; tan ka = −´ A ka
(10)
avec ´ S = (1/ka) coth k(a − a) et ´ A = (1/ka) tanh k(a − a). Les valeurs ´ S et ´ A sont
positives, petites par rapport à l’unité, et l’on a ´ S > ´ A .
4. L’intersection des courbes y = tan ka et des deux droites y = −´ka, de faible pente
négative, permet d’obtenir les valeurs des énergies E. La première intersection de ces droites
avec tan ka, étant proche du point x = p, nous donne, en approximant tan ka par une droite
au voisinage de p :
k S a
p
1 + ´ S
; k A a
p
1 + ´ A
(11)
Les valeurs des niveaux d’énergie les plus bas sont, compte tenu de (2) :
E S =
2
2m
p
a (1 + ´ S )
2
; E A =
2
2m
p
a (1 + ´ A )
2
(12)
5. Les formules (12) nous donnent :
E A − E S =
2 p
2
2ma 2
1
(1 + ´ A ) 2 −
1
(1 + ´ S ) 2
(13)
6. Les densités de probabilité de présence dans les régions G et D sont égales, par suite de la
symétrie du puits de potentiel, et données par :
P 1 (x) = |A|
2 sin
2 k(a − |x|)
(14)
Bien que l’énergie totale E de la particule soit inférieure à U 0 , la densité de probabilité de
présence dans la région M n’est pas nulle :
P 2 (x) = |B|
2 cosh
2 kx ; P 3 (x) = |B|
2 sinh
2 kx
(15)
La particule peut se trouver dans la région M par effet tunnel ce qui permet le passage entre
les régions G et D.
7. Les combinaisons linéaires suivantes :
C G =
1
√
2
(c
S
− c
A ) ; C D =
1
√
2
(c
S + c
A )
(16)
correspondent à des états dont les probabilités de présence sont pratiquement entièrement
distribuées dans la région x 0 pour C G et dans la région x 0 pour C D , leurs valeurs étant
presque nulles en dehors.
8. Supposons la molécule dans l’état C(x, 0) = C D au temps t = 0. La fonction d’onde
dépendant du temps de cet état non-stationnaire évolue de la façon suivante :
C(x, t) =
1
√
2
c
S exp(−iE S t/ ) +
1
√
2
c
A exp(−iE A t/ )
(17)
Posons : v = E A − E S , il vient :
C(x, t) =
1
√
2
exp(−iE S t/ )[c
S + c
A exp(−ivt)]
(18)
Après un temps t = p/v, on a : exp(−ivt) = exp(−ip) = −1, d’où :
C(x, t = p/v) = exp(−iE S p/ v)[c S (x) − c A (x)]
(19)
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3. Lorsque E U 0 , on a : k ≈
2mU 0 / et k devient une grandeur donnée. Les équations
(8) et (9) s’écrivent respectivement :
tan ka = −´ S ka ; tan ka = −´ A ka
(10)
avec ´ S = (1/ka) coth k(a − a) et ´ A = (1/ka) tanh k(a − a). Les valeurs ´ S et ´ A sont
positives, petites par rapport à l’unité, et l’on a ´ S > ´ A .
4. L’intersection des courbes y = tan ka et des deux droites y = −´ka, de faible pente
négative, permet d’obtenir les valeurs des énergies E. La première intersection de ces droites
avec tan ka, étant proche du point x = p, nous donne, en approximant tan ka par une droite
au voisinage de p :
k S a
p
1 + ´ S
; k A a
p
1 + ´ A
(11)
Les valeurs des niveaux d’énergie les plus bas sont, compte tenu de (2) :
E S =
2
2m
p
a (1 + ´ S )
2
; E A =
2
2m
p
a (1 + ´ A )
2
(12)
5. Les formules (12) nous donnent :
E A − E S =
2 p
2
2ma 2
1
(1 + ´ A ) 2 −
1
(1 + ´ S ) 2
(13)
6. Les densités de probabilité de présence dans les régions G et D sont égales, par suite de la
symétrie du puits de potentiel, et données par :
P 1 (x) = |A|
2 sin
2 k(a − |x|)
(14)
Bien que l’énergie totale E de la particule soit inférieure à U 0 , la densité de probabilité de
présence dans la région M n’est pas nulle :
P 2 (x) = |B|
2 cosh
2 kx ; P 3 (x) = |B|
2 sinh
2 kx
(15)
La particule peut se trouver dans la région M par effet tunnel ce qui permet le passage entre
les régions G et D.
7. Les combinaisons linéaires suivantes :
C G =
1
√
2
(c
S
− c
A ) ; C D =
1
√
2
(c
S + c
A )
(16)
correspondent à des états dont les probabilités de présence sont pratiquement entièrement
distribuées dans la région x 0 pour C G et dans la région x 0 pour C D , leurs valeurs étant
presque nulles en dehors.
8. Supposons la molécule dans l’état C(x, 0) = C D au temps t = 0. La fonction d’onde
dépendant du temps de cet état non-stationnaire évolue de la façon suivante :
C(x, t) =
1
√
2
c
S exp(−iE S t/ ) +
1
√
2
c
A exp(−iE A t/ )
(17)
Posons : v = E A − E S , il vient :
C(x, t) =
1
√
2
exp(−iE S t/ )[c
S + c
A exp(−ivt)]
(18)
Après un temps t = p/v, on a : exp(−ivt) = exp(−ip) = −1, d’où :
C(x, t = p/v) = exp(−iE S p/ v)[c S (x) − c A (x)]
(19)