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1 • Sources de la mécanique quantique
4. Calculer les énergies E S et E A des deux niveaux les plus bas.
5. Calculer la différence E A − E S .
6. Calculer la densité de probabilité de présence dans les différentes régions.
7. Déterminer deux fonctions d’onde possibles C G et C D de la molécule
dont les probabilités de présence sont presque entièrement nulles dans les
régions D et G respectivement.
8. Considérant l’état C D obtenu en 7, montrer qu’après un certain temps
qu’on déterminera, cet état devient proportionnel, à un facteur de phase
près, à C G . Calculer la fréquence d’oscillation de la molécule sachant que
la différence d’énergie E A − E S est égale à environ 10
−4 eV. Calculer la
longueur d’onde correspondante.
Solution.
1. L’équation de Schrödinger des états stationnaires de la particule est :
−
2
2m
d
2
dx 2 + U(x)
c(x) = Ec(x)
( 1 )
On résout l’équation (1) en considérant séparément chacune des régions, notées G, M, D sur
la figure 1.7. Posons :
k =
√
2mE
; k =
√
2m(U 0 − E)
(2)
L’équation de Schrödinger, dans chacune des régions, s’écrit :
Régions G et D :
d
2
dx 2 + k
2
c(x) = 0
( 3 )
Région M :
d
2
dx 2 − k
2
c(x) = 0
( 4 )
Par hypothèse, la particule reste confinée dans le puits de potentiel puisque les murs sont
infinis. Sa fonction d’onde est donc nulle en x = ±a. Compte tenu de ces conditions aux
limites, et vue la symétrie du potentiel donnant naissance à des solutions symétriques c
S (x)
ou antisymétriques c
A (x), les solutions des équations (3) et (4) sont respectivement dans les
trois régions :
Région G : c
S
G (x) = A sin k(a + x)
; c
A
G (x) = −A sin k(a + x)
( 5 )
Région M : c
S
M (x) = B cosh kx
; c
A
M (x) = B sinh kx
(6)
Région D : c
S, A
D (x) = A sin k(a − x)
( 7 )
2. Par suite de la continuité des fonctions d’onde et de leurs dérivées aux points x = ±(a−a),
on doit écrire, par exemple : c
S
D (a − a) = c
S
M (a − a). Combinant ces égalités, on obtient les
équations suivantes :
Pour la fonction c
S : tan ka = −
k
k
coth k(a − a)
( 8 )
Pour la fonction c
A : tan ka = −
k
k
tanh k(a − a)
( 9 )
1 • Sources de la mécanique quantique
4. Calculer les énergies E S et E A des deux niveaux les plus bas.
5. Calculer la différence E A − E S .
6. Calculer la densité de probabilité de présence dans les différentes régions.
7. Déterminer deux fonctions d’onde possibles C G et C D de la molécule
dont les probabilités de présence sont presque entièrement nulles dans les
régions D et G respectivement.
8. Considérant l’état C D obtenu en 7, montrer qu’après un certain temps
qu’on déterminera, cet état devient proportionnel, à un facteur de phase
près, à C G . Calculer la fréquence d’oscillation de la molécule sachant que
la différence d’énergie E A − E S est égale à environ 10
−4 eV. Calculer la
longueur d’onde correspondante.
Solution.
1. L’équation de Schrödinger des états stationnaires de la particule est :
−
2
2m
d
2
dx 2 + U(x)
c(x) = Ec(x)
( 1 )
On résout l’équation (1) en considérant séparément chacune des régions, notées G, M, D sur
la figure 1.7. Posons :
k =
√
2mE
; k =
√
2m(U 0 − E)
(2)
L’équation de Schrödinger, dans chacune des régions, s’écrit :
Régions G et D :
d
2
dx 2 + k
2
c(x) = 0
( 3 )
Région M :
d
2
dx 2 − k
2
c(x) = 0
( 4 )
Par hypothèse, la particule reste confinée dans le puits de potentiel puisque les murs sont
infinis. Sa fonction d’onde est donc nulle en x = ±a. Compte tenu de ces conditions aux
limites, et vue la symétrie du potentiel donnant naissance à des solutions symétriques c
S (x)
ou antisymétriques c
A (x), les solutions des équations (3) et (4) sont respectivement dans les
trois régions :
Région G : c
S
G (x) = A sin k(a + x)
; c
A
G (x) = −A sin k(a + x)
( 5 )
Région M : c
S
M (x) = B cosh kx
; c
A
M (x) = B sinh kx
(6)
Région D : c
S, A
D (x) = A sin k(a − x)
( 7 )
2. Par suite de la continuité des fonctions d’onde et de leurs dérivées aux points x = ±(a−a),
on doit écrire, par exemple : c
S
D (a − a) = c
S
M (a − a). Combinant ces égalités, on obtient les
équations suivantes :
Pour la fonction c
S : tan ka = −
k
k
coth k(a − a)
( 8 )
Pour la fonction c
A : tan ka = −
k
k
tanh k(a − a)
( 9 )