Exercices
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Exercice 1.2. Molécule d’ammoniac
La molécule d’ammoniac NH 3 a la forme d’une pyramide à base triangulaire, l’atome d’azote N étant situé au sommet et les trois atomes d’hydrogène à la base, ainsi que le montre la figure 1.5.
Soit P un plan passant par le centre O de l’atome d’azote et parallèle au
triangle de base de la molécule. Sur la perpendiculaire au plan P, passant
par O, notons x la distance à partir de l’origine O.
x
N
O
P
Figure 1.5
U(x)
U 0
x
O
b
-b
Figure 1.6
La molécule peut passer d’une configuration à celle symétrique par rapport
au plan P où deux positions d’équilibre sont obtenues, en x = ±b ; l’atome
d’azote, plus lourd que les atomes d’hydrogène, reste alors en place. Lors
de ce « retournement », l’énergie U(x) de la molécule passe par un maximum, en x = 0 ainsi que le montre la figure 1.6. Enfin, lorsque x croît, en
valeur absolue, au-delà de la valeur b, l’énergie U(x) augmente rapidement
tout en tendant vers une valeur maximale correspondant à la rupture de la
liaison chimique.
1. On remplace l’énergie potentielle
réelle par un puits de potentiel qui reproduit les caractéristiques de U(x) et qui est
décrit par la figure 1.7, les murs du puits
étant infinis. La particule relative, ayant
pour masse la masse réduite m, peut se
déplacer dans ce puits. Déterminer, dans
les régions G, M et D, l’expression des
fonctions d’onde des états stationnaires
de la particule dans le cas où l’énergie
totale E de la particule est telle que
E < U 0 .
2 b
x
U 0
U(x)
G
D
M
α
a
a
Figure 1.7
2. La densité de probabilité de présence étant une fonction continue de x,
malgré les discontinuités du potentiel, la fonction d’onde et sa dérivée sont
continues dans l’intervalle ]−a, a[. Déterminer deux équations permettant
le calcul des niveaux d’énergie.
3. Simplifier les équations précédentes lorsque E U 0 .
Pour la suite de l’exercice, on supposera que les largeurs des puits et de la
barrière sont du même ordre de grandeur, et que U 0
2 /(2ma
2 ).
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Exercice 1.2. Molécule d’ammoniac
La molécule d’ammoniac NH 3 a la forme d’une pyramide à base triangulaire, l’atome d’azote N étant situé au sommet et les trois atomes d’hydrogène à la base, ainsi que le montre la figure 1.5.
Soit P un plan passant par le centre O de l’atome d’azote et parallèle au
triangle de base de la molécule. Sur la perpendiculaire au plan P, passant
par O, notons x la distance à partir de l’origine O.
x
N
O
P
Figure 1.5
U(x)
U 0
x
O
b
-b
Figure 1.6
La molécule peut passer d’une configuration à celle symétrique par rapport
au plan P où deux positions d’équilibre sont obtenues, en x = ±b ; l’atome
d’azote, plus lourd que les atomes d’hydrogène, reste alors en place. Lors
de ce « retournement », l’énergie U(x) de la molécule passe par un maximum, en x = 0 ainsi que le montre la figure 1.6. Enfin, lorsque x croît, en
valeur absolue, au-delà de la valeur b, l’énergie U(x) augmente rapidement
tout en tendant vers une valeur maximale correspondant à la rupture de la
liaison chimique.
1. On remplace l’énergie potentielle
réelle par un puits de potentiel qui reproduit les caractéristiques de U(x) et qui est
décrit par la figure 1.7, les murs du puits
étant infinis. La particule relative, ayant
pour masse la masse réduite m, peut se
déplacer dans ce puits. Déterminer, dans
les régions G, M et D, l’expression des
fonctions d’onde des états stationnaires
de la particule dans le cas où l’énergie
totale E de la particule est telle que
E < U 0 .
2 b
x
U 0
U(x)
G
D
M
α
a
a
Figure 1.7
2. La densité de probabilité de présence étant une fonction continue de x,
malgré les discontinuités du potentiel, la fonction d’onde et sa dérivée sont
continues dans l’intervalle ]−a, a[. Déterminer deux équations permettant
le calcul des niveaux d’énergie.
3. Simplifier les équations précédentes lorsque E U 0 .
Pour la suite de l’exercice, on supposera que les largeurs des puits et de la
barrière sont du même ordre de grandeur, et que U 0
2 /(2ma
2 ).