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1 • Sources de la mécanique quantique
2. La densité du courant de probabilité j(r, t) est donnée par : j(r, t) = Re(c
∗ Vc), ainsi
que nous le reverrons au cours du chapitre 3, où V désigne l’opérateur vitesse de la particule.
Pour un phénomène à une variable, l’expression de j(r, t) se réduit à :
j(x, t) =
i
2m
c
∂c
∗
∂x
− c
∗ ∂c
∂x
(10)
La fonction d’onde spatiotemporelle correspondant à l’onde incidente, dans la région I, est :
c Ii (x, t) = e
ikx e
−iEt/
(11)
d’où le flux incident :
j i (x) = k/m.
(12)
La fonction spatiotemporelle décrivant l’onde transmise est :
c IIIt (x, t) = Ce
ikx e
−iEt/
(13)
d’où le flux transmis :
j t (x) = k|C|
2 /m.
(14)
3. Le coefficient de transmission est égal à T = |j t (x)|/|j i (x)| = |C|
2 , d’où :
T =
4k
2 g
2
(k 2 + g 2 ) 2 sinh
2 ga + 4k 2 g 2
(15)
4. Étudions la variation du coefficient de transmission T en fonction des valeurs de a,
distance entre la pointe du microscope à effet tunnel et l’échantillon étudié. Posons :
a = (k
2 + g
2 )
2 /4k
2 g
2 ; le coefficient de transmission s’écrit :
T =
1
a sinh
2 ga + 1
(16)
Pour les valeurs données : E = 1 eV, V 0 = 6 eV, a = 1 nm, la quantité a sinh
2 ga est très
grande devant l’unité. D’autre part, le sinus hyperbolique comporte un terme exp(−ga) qui
est très petit devant exp(ga). On peut donc écrire :
T
1
a (e g a /2) 2
(17)
Le calcul de g nous donne : g = 11, 46×10
9 m
−1 . Les coefficients de transmission respectifs
T 1 et T 2 , pour des distances a 1 = 1 nm et a 2 = 1, 1 nm, nous donnent :
T 1
T 2
≈ exp[2g(a 2 − a 1 )] = 9, 89
(18)
La formule (18) montre que le courant électrique d’un microscope à effet tunnel est divisé
par une facteur de l’ordre de 10 lorsque la distance entre la pointe et l’échantillon augmente
de 0,1 nm. Les atomes ayant des dimensions de l’ordre de quelques nanomètres peuvent donc
être mis en évidence par les variations du courant lors du balayage horizontal de la surface en
relief de l’échantillon par la pointe du microscope.
1 • Sources de la mécanique quantique
2. La densité du courant de probabilité j(r, t) est donnée par : j(r, t) = Re(c
∗ Vc), ainsi
que nous le reverrons au cours du chapitre 3, où V désigne l’opérateur vitesse de la particule.
Pour un phénomène à une variable, l’expression de j(r, t) se réduit à :
j(x, t) =
i
2m
c
∂c
∗
∂x
− c
∗ ∂c
∂x
(10)
La fonction d’onde spatiotemporelle correspondant à l’onde incidente, dans la région I, est :
c Ii (x, t) = e
ikx e
−iEt/
(11)
d’où le flux incident :
j i (x) = k/m.
(12)
La fonction spatiotemporelle décrivant l’onde transmise est :
c IIIt (x, t) = Ce
ikx e
−iEt/
(13)
d’où le flux transmis :
j t (x) = k|C|
2 /m.
(14)
3. Le coefficient de transmission est égal à T = |j t (x)|/|j i (x)| = |C|
2 , d’où :
T =
4k
2 g
2
(k 2 + g 2 ) 2 sinh
2 ga + 4k 2 g 2
(15)
4. Étudions la variation du coefficient de transmission T en fonction des valeurs de a,
distance entre la pointe du microscope à effet tunnel et l’échantillon étudié. Posons :
a = (k
2 + g
2 )
2 /4k
2 g
2 ; le coefficient de transmission s’écrit :
T =
1
a sinh
2 ga + 1
(16)
Pour les valeurs données : E = 1 eV, V 0 = 6 eV, a = 1 nm, la quantité a sinh
2 ga est très
grande devant l’unité. D’autre part, le sinus hyperbolique comporte un terme exp(−ga) qui
est très petit devant exp(ga). On peut donc écrire :
T
1
a (e g a /2) 2
(17)
Le calcul de g nous donne : g = 11, 46×10
9 m
−1 . Les coefficients de transmission respectifs
T 1 et T 2 , pour des distances a 1 = 1 nm et a 2 = 1, 1 nm, nous donnent :
T 1
T 2
≈ exp[2g(a 2 − a 1 )] = 9, 89
(18)
La formule (18) montre que le courant électrique d’un microscope à effet tunnel est divisé
par une facteur de l’ordre de 10 lorsque la distance entre la pointe et l’échantillon augmente
de 0,1 nm. Les atomes ayant des dimensions de l’ordre de quelques nanomètres peuvent donc
être mis en évidence par les variations du courant lors du balayage horizontal de la surface en
relief de l’échantillon par la pointe du microscope.