Exercices
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être décrite approximativement par une barrière carrée de hauteur V 0 telle
que :
V(x) = V 0 si 0 x a ; V(x) = 0 partout ailleurs
(1)
1. Déterminer les fonctions d’onde représentant un flux d’électrons monocinétiques à travers la barrière de potentiel carrée dans le cas où l’énergie
E d’un électron est telle que E V 0 .
2. Calculer l’expression du flux d’électrons transmis à travers la barrière
de potentiel.
3. Le coefficient de transmission T est défini comme étant le rapport entre
les courants incident et transmis. Déterminer T.
4. Calculer la variation de courant d’un microscope à effet tunnel lorsque
l’espace entre la pointe et l’échantillon subit une variation de 0,1 nm, avec
V 0 = 6 eV, a = 1 nm, E = 1 eV.
Solution.
1. L’équation de Schrödinger des états stationnaires d’une particule de masse m s’écrit :
−
2
2m
c
(x) + [V(x) − E] c(x) = 0
( 2 )
On résout cette équation pour chacune des régions I, II et III. On pose :
k =
√
2mE
; g =
√
2m(V 0 − E)
(3)
Dans la région I, la solution de l’équation de Schrödinger, pour V(x) = 0, est formée d’une
onde incidente, dont l’amplitude peut être prise égale à l’unité, et d’une onde réfléchie :
c I (x) = e
ikx + Ae
−ikx
(4)
Dans la région II, la solution de l’équation de Schrödinger, pour V(x) = V 0 , est donnée par :
c II (x) = B 1 e
gx + B 2 e
−gx
(5)
Dans la région III, où V(x) = 0, la fonction d’onde ne comporte plus qu’une onde transmise :
c III (x) = Ce
ikx
(6)
Les coefficients A, B 1 , B 2 , C sont déterminés en écrivant les conditions de continuité de la
fonction d’onde et de sa dérivée première. En x = 0, on obtient :
1 + A = B 1 + B 2 ; ik(1 − A) = g(B 1 − B 2 )
( 7 )
En x = a, il vient :
B 1 e
ga + B 2 e
−ga = Ce
ika
; g(B 1 e
ga
− B 2 e
−ga ) = ikCe
ika
(8)
Ces quatre équations permettent d’obtenir les coefficients cherchés. Nous aurons besoin par
la suite de la valeur de C, soit :
C = −
4ik e
−ika
g [e g a (1 − ik/g) 2 − e −g a (1 + ik/g) 2 ]
(9)
21
être décrite approximativement par une barrière carrée de hauteur V 0 telle
que :
V(x) = V 0 si 0 x a ; V(x) = 0 partout ailleurs
(1)
1. Déterminer les fonctions d’onde représentant un flux d’électrons monocinétiques à travers la barrière de potentiel carrée dans le cas où l’énergie
E d’un électron est telle que E V 0 .
2. Calculer l’expression du flux d’électrons transmis à travers la barrière
de potentiel.
3. Le coefficient de transmission T est défini comme étant le rapport entre
les courants incident et transmis. Déterminer T.
4. Calculer la variation de courant d’un microscope à effet tunnel lorsque
l’espace entre la pointe et l’échantillon subit une variation de 0,1 nm, avec
V 0 = 6 eV, a = 1 nm, E = 1 eV.
Solution.
1. L’équation de Schrödinger des états stationnaires d’une particule de masse m s’écrit :
−
2
2m
c
(x) + [V(x) − E] c(x) = 0
( 2 )
On résout cette équation pour chacune des régions I, II et III. On pose :
k =
√
2mE
; g =
√
2m(V 0 − E)
(3)
Dans la région I, la solution de l’équation de Schrödinger, pour V(x) = 0, est formée d’une
onde incidente, dont l’amplitude peut être prise égale à l’unité, et d’une onde réfléchie :
c I (x) = e
ikx + Ae
−ikx
(4)
Dans la région II, la solution de l’équation de Schrödinger, pour V(x) = V 0 , est donnée par :
c II (x) = B 1 e
gx + B 2 e
−gx
(5)
Dans la région III, où V(x) = 0, la fonction d’onde ne comporte plus qu’une onde transmise :
c III (x) = Ce
ikx
(6)
Les coefficients A, B 1 , B 2 , C sont déterminés en écrivant les conditions de continuité de la
fonction d’onde et de sa dérivée première. En x = 0, on obtient :
1 + A = B 1 + B 2 ; ik(1 − A) = g(B 1 − B 2 )
( 7 )
En x = a, il vient :
B 1 e
ga + B 2 e
−ga = Ce
ika
; g(B 1 e
ga
− B 2 e
−ga ) = ikCe
ika
(8)
Ces quatre équations permettent d’obtenir les coefficients cherchés. Nous aurons besoin par
la suite de la valeur de C, soit :
C = −
4ik e
−ika
g [e g a (1 − ik/g) 2 − e −g a (1 + ik/g) 2 ]
(9)