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B • Compléments mathématiques
B.5 FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES
B.5.1 Équation différentielle hypergéométrique
La fonction hypergéométrique est définie par la série :
F 1 (a, b, c, z) = 1 +
ab
c
z
1!
+ · · · +
(1)
a(a + 1) . . . (a + n − 1)b(b + 1) . . . (b + n − 1)
c(c + 1) . . . (c + n − 1)
z
n
n!
+ . . .
(B.5.1)
où z est une variable complexe. Les paramètres a et b sont quelconques, et c est
différent de zéro et des entiers négatifs. Cette série converge uniforméméent et absolument pour |z| < 1.
La série F 1 (a, b, c, z) est une solution particulière de l’équation différentielle hypergéométrique :
z(z − 1)
d
2 F
dz 2 + ((1 + a + b)z − c)
dF
dz
+ abF = 0
( B .5.2)
Une seconde solution de l’équation différentielle (B.5.2), linéairement indépendante
de F 1 (a, b, c, z), est :
F 2 (a, b, c, z) = z
1−c F 1 (a − c + 1, b − c + 1, 2 − c, z)
( B .5.3)
Si l’on effectue le changement de fonction F(z) = (1 − z)
c−a−b K(z) dans l’équation
différentielle (B.5.2), on obtient une équation du même type mais de paramètres c−a,
c − b, c au lieu de a, b, c respectivement. La fonction F 1 (c − a, c − b, c, z) est donc
solution de cette nouvelle équation, et on a l’égalité :
F 1 (a, b, c, z) = (1 − z)
c−a−b F 1 (c − a, c − b, c, z)
( B .5.4)
B.5.2 Équation différentielle hypergéométrique dégénérée
La fonction hypergéométrique dégénérée est définie par la série :
G 1 (a, c, z) = 1 +
a
c
z
1!
+ · · · +
a(a + 1) . . . (a + n − 1)
c(c + 1) . . . (c + n − 1)
z
n
n!
+ · · ·
(B.5.5)
Le paramètre a est arbitraire, et c ne doit pas prendre la valeur zéro ou une valeur
entière négative. La série converge quel que soit z fini.
La fonction G 1 (a, c, z) vérifie l’équation différentielle hypergéométrique dégénérée :
z
d
2 G
dz 2 + (c − z)
dG
dz
− aG = 0
( B .5.6)
La substitution G(z) = z
1−c M(z) conserve la forme de l’équation (B.5.6) ; on obtient :
z
d
2 M
dz 2 + (2 − c − z)
dM
dz
− (a − c + 1)M = 0
( B .5.7)
B • Compléments mathématiques
B.5 FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES
B.5.1 Équation différentielle hypergéométrique
La fonction hypergéométrique est définie par la série :
F 1 (a, b, c, z) = 1 +
ab
c
z
1!
+ · · · +
(1)
a(a + 1) . . . (a + n − 1)b(b + 1) . . . (b + n − 1)
c(c + 1) . . . (c + n − 1)
z
n
n!
+ . . .
(B.5.1)
où z est une variable complexe. Les paramètres a et b sont quelconques, et c est
différent de zéro et des entiers négatifs. Cette série converge uniforméméent et absolument pour |z| < 1.
La série F 1 (a, b, c, z) est une solution particulière de l’équation différentielle hypergéométrique :
z(z − 1)
d
2 F
dz 2 + ((1 + a + b)z − c)
dF
dz
+ abF = 0
( B .5.2)
Une seconde solution de l’équation différentielle (B.5.2), linéairement indépendante
de F 1 (a, b, c, z), est :
F 2 (a, b, c, z) = z
1−c F 1 (a − c + 1, b − c + 1, 2 − c, z)
( B .5.3)
Si l’on effectue le changement de fonction F(z) = (1 − z)
c−a−b K(z) dans l’équation
différentielle (B.5.2), on obtient une équation du même type mais de paramètres c−a,
c − b, c au lieu de a, b, c respectivement. La fonction F 1 (c − a, c − b, c, z) est donc
solution de cette nouvelle équation, et on a l’égalité :
F 1 (a, b, c, z) = (1 − z)
c−a−b F 1 (c − a, c − b, c, z)
( B .5.4)
B.5.2 Équation différentielle hypergéométrique dégénérée
La fonction hypergéométrique dégénérée est définie par la série :
G 1 (a, c, z) = 1 +
a
c
z
1!
+ · · · +
a(a + 1) . . . (a + n − 1)
c(c + 1) . . . (c + n − 1)
z
n
n!
+ · · ·
(B.5.5)
Le paramètre a est arbitraire, et c ne doit pas prendre la valeur zéro ou une valeur
entière négative. La série converge quel que soit z fini.
La fonction G 1 (a, c, z) vérifie l’équation différentielle hypergéométrique dégénérée :
z
d
2 G
dz 2 + (c − z)
dG
dz
− aG = 0
( B .5.6)
La substitution G(z) = z
1−c M(z) conserve la forme de l’équation (B.5.6) ; on obtient :
z
d
2 M
dz 2 + (2 − c − z)
dM
dz
− (a − c + 1)M = 0
( B .5.7)