B.5 Fonctions hypergéométriques
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Ceci montre que l’équation (B.5.6) admet également la solution :
G 2 (a, c, z) = z
1−c G 1 (a − c + 1, 2 − c, z)
( B .5.8)
qui est linéairement indépendante de la solution G 1 (a, c, z) donnée par (B.5.5). La
solution générale de l’équation différentielle hypergéométrique dégénérée est donc
de la forme :
G(a, c, z) = c 1 G 1 (a, c, z) + c 2 z
1−c G 1 (a − c + 1, 2 − c, z)
( B .5.9)
Lorsque a = −n et c = m, avec n et m entiers positifs, on démontre qu’on a la
formule :
G 1 (−n, m, z) =
(−1)
m−1
m(m + 1) . . . (m + n − 1)
e
z d
m+n−1
dz m+n−1
e
−z z
n
(B.5.10)
Les polynômes G 1 (−n, m, z), pour 0 m n, coïncident, à un facteur constant
près, avec les polynômes de Laguerre généralisés L
m−1
n+m−1 donnés par (B.2.10).