B.4 Harmoniques sphériques
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B.4.2 Relations entre les harmoniques sphériques
• La relation de parité suivante intervient lors d’une réflexion (u, w) → (p−u, w+p) :
Y
m
l (p − u, w + p) = (−1)
l Y
m
l (u, w)
( B .4.8)
• La conjugaison complexe donne la relation :
Y
m∗
l (u, w) = (−1)
m Y
−m
l (u, w)
( B .4.9)
• On a les relations de récurrence suivantes :
cos uY
m
l =
(l + 1 + m)(l + 1 − m)
(2l + 1)(2l + 3)
1/2
Y
m
l+1 +
(l + m)(l − m)
(2l + 1)(2l − 1)
1/2
Y
m
l−1 (B.4.10)
L ± Y
m
l = i [l(l + 1) − m(m ± 1)]
1/2 Y
m±1
l
= i [(l ∓ m)(l + 1 ± m)]
1/2 Y
m±1
l
(B.4.11)
où l’opérateur L ± est défini par :
L ± = L x ± iL y = ie
±iw
±
∂
∂u
+ icot u
∂
∂w
(B.4.12)
B.4.3 Système orthonormé
On a la relation d’orthonormalisation :
Y
m∗
l Y
m
l dV =
2p
0
dw
p
0
sin uduY
m∗
l (u, w)Y
m
l (u, w) = d mm d ll
(B.4.13)
Toute fonction F(u, w) de carré sommable peut être développée d’une façon et d’une
seule sur les harmoniques sphériques, soit :
F(u, w) =
l
m
c lm Y
m
l (u, w)
( B .4.14)
avec :
c lm =
2p
0
dw
p
0
sin uY
m∗
l (u, w) F(u, w)du
(B.4.15)
Les harmoniques sphériques forment un système orthonormal complet de fonctions
de carré sommable sur la sphère de rayon unité. Elles peuvent servir de base orthonormée dans l’espace des fonctions de u et w de carré sommable.