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B • Compléments mathématiques
Les premières harmonique sphériques ont pour expression :
Y
0
0 =
1
√
4p
; Y
0
1 =
3
4p
cos u ; Y
0
2 =
5
16p
3 cos
2 u − 1
Y
0
3 =
7
16p
5 cos
3 u − 3 cos u
Y
±1
1 = ∓
3
8p
sin ue
±iw ; Y
±1
2 = ∓
15
8p
cos u sin ue
±iw
Y
±1
3 = ∓
21
64p
sin u
5 cos
2 u − 1
e
±iw
Y
±2
2 =
15
32p
sin
2 ue
±2iw ; Y
±2
3 =
105
32p
sin
2 u cos ue
±2iw
Y
±3
3 = ∓
35
64p
sin
3 ue
±3iw
(B.4.2)
En particulier, on a les expressions suivantes :
m = 0 ; Y
0
l =
2l + 1
4p
P l (cos u)
( B .4.3)
m = l ; Y
l
l = (−1)
l
(2l + 1)
4p
(2l)!
2 2l (l!) 2
1/2
sin
l ue
ilw
(B.4.4)
Les fonctions harmoniques sont des fonctions propres communes des opérateurs L z
et L
2 définis par :
L z =
∂
∂w
; L
2 =
1
sin u
∂
∂u
sin u
∂
∂u
+
1
sin
2 u
∂
2
∂w 2
(B.4.5)
L’opérateur L
2 constitue le terme angulaire de l’opérateur de Laplace D écrit en coordonnées sphériques.
Les fonctions harmoniques vérifient les équations aux valeurs propres :
L z Y
m
l (u, w) = imY
m
l (u, w)
( B .4.6)
L
2 Y
m
l (u, w) = −l(l + 1)Y
m
l (u, w)
( B .4.7)
avec l = 0, 1, 2, . . . ; m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l.
Selon (6.3.2) et (6.3.6), on a : L z = −i L z et L
2 = −
2 L
2 , où L z et L
2 sont
les opérateurs associés au moment cinétique orbital. Les fonctions harmoniques sont
donc les fonctions propres de ces opérateurs, aux coefficients de proportionnalité
près.