B.4 Harmoniques sphériques
433
B.3.3 Propriétés des fonctions de Legendre associées
On a les relations de récurrence :
(2l + 1)xP
m
l (x) − (l − m + 1)P
m
l+1 (x) − (l + m)P
m
l−1 (x) = 0 ; 0 m l − 1 (B.3.9)
x
2
− 1
d
dx
P
m
l (x) − (l − m + 1)P
m
l+1 (x) + (l + 1)xP
m
l (x) = 0 ; 0 m l (B.3.10)
P
m
l+1 (x) − P
m
l−1 (x) − (2l + 1)
1 − x 2 P
m−1
l
(x) = 0 ; 0 m l − 1 (B.3.11)
Le coefficient de normalisation des fonctions de Legendre associées est calculé sur
l’intervalle [−1, 1]. On a :
1
−1
|P
m
l (x)|
2 dx =
2
2l + 1
(l + m)!
(l − m)!
(B.3.11)
Les fonctions P
m
l (x) sont orthogonales entre elles pour des valeurs l et l
distinctes et
un même m, soit :
1
−1
P
m
l (x)P
m
l (x)dx =
2
2l + 1
(l + m)!
(l − m)!
d l l
(B.3.12)
La formule intégrale de Heine permet d’écrire P
m
l (x) sous la forme :
P
m
l (x) = (−1)
m/2 (l + m)!
pl!
p
0
x +
x 2 − 1 cos u
l
cos mu du
(B.3.13)
B.4 HARMONIQUES SPHÉRIQUES
B.4.1 Définition
Notons u et w les angles en coordonnées sphériques, et P
m
l (cos u) les fonctions de
Legendre associées. La fonction Y
m
l (u, w) définie par :
Y
m
l (u, w) = (−1)
m
(2l + 1) (l − m)!
4p(l + m)!
1/2
P
m
l (cos u)e
imw
(B.4.1)
est appelée harmonique sphérique normalisée de degré l et d’ordre m.