432
B • Compléments mathématiques
Le développement en série de Taylor de la fonction (1 − 2lx + l
2 )
−1/2 , par rapport à
l, s’écrit :
1
√
1 − 2lx + l 2
=
∞
l=0
l
l P l (x)
( B .3.3)
la série étant convergente pour |l| < 1.
La fonction (1 − 2lx + l
2 )
−1/2 est appelée la fonction génératrice des polynômes
de Legendre.
Les polynômes de Legendre vérifient l’équation différentielle suivante, exprimée
en fonction de la variable u :
1
sin u
d
du
sin u
dP l
du
+ l(l + 1)P l = 0
( B .3.4)
B.3.2 Définition des fonctions de Legendre associées
La fonction P
m
l (x), avec |m| = 0, 1, 2, . . . , l, définie par :
P
m
l (x) =
1 − x
2
m/2 d
m
dx m P l (x) =
(−1)
l
2 l l!
1 − x
2
m/2 d
m+l
dx m+l
1 − x
2
l
(B.3.5)
est appelée fonction de Legendre associée de degré l et d’ordre m.
Donnons quelques exemples de ces fonctions exprimées en fonction de u :
P
1
1 (u) = sin u ; P
1
2 (u) =
3
2
sin 2u ; P
2
2 (u) =
3
2
(1 − cos 2u)
P
1
3 (u) =
3
8
(sin u + 5 sin 3u) ; P
l
l (u) = 1 × 3 × 5 . . . × (2l − 1) sin
l u
(B.3.6)
Sous forme développée, les fonctions de Legendre associées ont pour expression :
P
m
l (u) =
(2l)!
2 l l!(l − m)!
sin
l u ×
cos
l−m u −
(l − m)(l − m − 1)
2(2l − 1)
cos
l−m−2 u
+
(l − m)(l − m − 1)(l − m − 2)(l − m − 3)
2 × 4(2l − 1)(2l − 3)
cos
l−m−4 u − . . .
(B.3.7)
Les fonctions de Legendre associées de degré l et d’ordre m sont des solutions de
l’équation différentielle suivante, exprimée en fonction de la variable u :
1
sin u
d
du
sin u
dP
m
l
du
+
l(l + 1) −
m
2
sin
2 u
P
m
l = 0
( B .3.8)