B.3 Fonctions de Legendre associées
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Pour k = 0, on a : L n (x) = L
0
n (x) ; pour k = 1, dL n (x)/dx = L
k
n (x). Supposons la
relation (B.2.10) vraie pour k ; on a :
d
k+1
dx k+1 L n (x) =
d
dx
n!
(n − k)!
e
x d
n
dx n (e
−x x
n−k )
=
n!
(n − k − 1)!
e
x d
n
dx n (e
−x x
n−k−1 )
(B.2.11)
Le dernier membre de (B.2.11) est bien la formule générale de L
k+1
n (x) pour k + 1, ce
qui démontre la récurrence.
B.2.6 Équation différentielle
Le polynôme L
0
n (x) vérifie l’équation différentielle (B.2.8). Dérivant cette équation,
on obtient l’équation différentielle pour dL n (x)/dx = L
1
n (x), soit :
x
d
2
dx 2 + (1 + 1 − x)
d
dx
+ (n − 1)
L
1
n (x) = 0
( B .2.12)
L’équation (B.2.12) est de la même forme que (B.2.8) mais le coefficient (1 − x) est
augmenté d’une unité alors que le coefficient n est diminué d’une unité. Il en est de
même de chaque nouvelle dérivation, et l’équation différentielle des polynômes de
Laguerre généralisés s’écrit :
x
d
2
dx 2 + (k + 1 − x)
d
dx
+ (n − k)
L
k
n (x) = 0
( B .2.13)
B.3 FONCTIONS DE LEGENDRE ASSOCIÉES
B.3.1 Polynômes de Legendre
La variable utilisée dans le cours est u. Nous utilisons ici la variable x = cos u
qui s’avère particulièrement convenable lors d’une intégration. En effet, l’élément
de volume en u, soit sin udu, pris dans l’intervalle [0, p], se simplifie en dx sur
l’intervalle [−1, 1].
Le polynôme P l (cos u), pour l = 0, 1, 2, . . . , défini par :
P l (x) =
(−1)
l
2 l l!
d
l
dx l (1 − x
2 )
l
(B.3.1)
est appelé polynôme de Legendre de degré l .
Le calcul des premiers polynômes de Legendre s’effectue aisément à partir de la
définition (B.3.1) ; on obtient :
P 0 (x) = 1 ; P 1 (x) = x ; P 2 (x) =
1
2
3x
2
− 1
;
P 3 (x) =
1
2
5x
3
− 3x
(B.3.2)