430
B • Compléments mathématiques
Les polynômes de Laguerre sont donc les dérivées par rapport à l, pour l = 0, de la
fonction
e
−lx/(1−l)
/(1 − l), soit :
L n (x) =
∂
n
∂l n
e −lx/(1−l)
1 − l
l=0
(B.2.5)
La fonction
e
−lx/(1−l)
/(1 − l) est appelée la fonction génératrice des polynômes
de Laguerre.
B.2.3 Relations de récurrence
La définition (B.2.1) permet, en dérivant le polynôme L n+1 (x), d’obtenir la relation
de récurrence :
d
dx
L n+1 (x) = (n + 1)
d
dx
− 1
L n
(B.2.6)
Par une méthode analogue à celle aboutissant à la relation (B.1.13) pour les polynômes d’Hermite, on obtient une seconde relation de récurrence entre les polynômes
de Laguerre :
L n+1 (x) = (2n + 1 − x)L n − n
2 L n−1
(B.2.7)
B.2.4 Équation différentielle
Partant des relations de récurrence ci-dessus, par dérivation et combinaisons entre
elles des relations obtenues, on aboutit à l’équation différentielle des polynômes de
Laguerre :
x
d
2
dx 2 + (1 − x)
d
dx
+ n
L n (x) = 0
( B .2.8)
B.2.5 Polynômes de Laguerre généralisés
Les polynômes de Laguerre généralisés L
k
n (x) sont définis par :
L
k
n (x) =
d
k
dx k L n (x)
( B .2.9)
Compte tenu de la définition (B.2.1) des polynômes de Laguerre, démontrons par
récurrence qu’on a :
L
k
n (x) =
n!
(n − k)!
e
x d
n
dx n
e
−x x
n−k
(B.2.10)