B.2 Polynômes de Laguerre
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En dérivant à présent l’expression (B.1.7) par rapport à l, puis en effectuant un raisonnement analogue au précédent, on aboutit à la relation :
H n (x) = 2xH n−1 (x) − 2(n − 1)H n−2 (x)
( B .1.13)
B.1.4 Équation différentielle
Pour obtenir l’équation différentielle dont les polynômes d’Hermite sont des solutions, dérivons la relation (B.1.12) et utilisons (B.1.9) ; on obtient :
d
2
dx 2 H n (x) = 2n
d
dx
H n−1 (x) = 2n (−H n (x) + 2xH n−1 (x))
(B.1.14)
Remplaçons dans le dernier membre de (B.1.14) le polynôme H n−1 (x) par son expression donnée par (B.1.12) ; on obtient l’équation différentielle :
d
2
dx 2 − 2x
d
dx
+ 2n
H n (x) = 0
( B .1.15)
B.2 POLYNÔMES DE LAGUERRE
B.2.1 Définition
Le polynôme L n (x) défini par :
L n (x) = e
x d
n
dx n
x
n e
−x
(B.2.1)
est appelé polynôme de Laguerre de degré n.
Le calcul des premiers polynômes de Laguerre s’effectue aisément à partir de sa
définition ; on obtient :
L 0 (x) = 1 ; L 1 (x) = −x + 1 ; L 2 (x) = x
2
− 4x + 2 ;
L 3 (x) = −x
3 + 9x
2
− 18x + 6 ; L 4 (x) = x
4
− 16x
3 + 72x
2
− 96x + 24
(B.2.2)
Le développement en série de L n (x) selon les puissances décroissantes de x s’écrit :
L n (x) = (−1)
n
x
n
−
n
2
1!
x
n−1 +
n
2 (n − 1)
2
2!
x
n−2
− ...
(B.2.3)
B.2.2 Fonction génératrice
Le développement en série de Taylor de la fonction
e
−lx/(1−l)
/(1 − l) par rapport
à l s’écrit :
e −lx/(1−l)
1 − l
=
∞
n=0
l
n
n!
L n (x)
( B .2.4)