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B • Compléments mathématiques
où l est un paramètre. Développons cette fonction en série de Taylor par rapport au
paramètre l :
f (x + l) =
∞
n=0
l
n
n!
∂
n f
∂l n
l=0
=
∞
n=0
l
n
n!
(−1)
n e
−x
2 H n (x)
( B .1.5)
Multiplions cette dernière égalité par e
x
2 et changeons l en −l. Il vient :
e
x
2 f (x − l) =
∞
n=0
l
n
n!
H n (x)
( B .1.6)
Compte tenu de f (x − l) = e
−(x−l)
2 , la relation (B.1.6) s’écrit :
e
−l
2 +2lx =
∞
n=0
l
n
n!
H n (x)
( B .1.7)
Cette dernière expression du développement en série de la fonction e
−l
2 +2lx montre
que les polynômes d’Hermite sont ses dérivées d’ordre n par rapport à l, pour l = 0 :
H n (x) =
∂
n
∂l n e
−l
2 +2lx
l=0
(B.1.8)
La fonction e
−l
2 +2lx est appelée pour cette raison la fonction génératrice des polynômes d’Hermite.
B.1.3 Relations de récurrence
L’expression de définition (B.1.1) des polynômes d’Hermite permet d’établir une
relation de récurrence entre H n (x) et H n−1 (x). Dérivant l’expression de H n−1 (x), on
aboutit à la relation :
H n (x) =
2x −
d
dx
H n−1 (x)
( B .1.9)
Une deuxième relation de récurrence peut être obtenue en dérivant par rapport à x le
développement (B.1.7), d’où :
2le
−l
2 +2lx =
∞
n=0
l
n
n!
d
dx
H n (x)
( B .1.10)
Remplaçons dans cette dernière expression e
−l
2 +2lx par son développement en série
(B.1.7) ; il vient :
2
∞
n=0
l
n+1
n!
H n (x) =
∞
n=0
l
n
n!
d
dx
H n (x)
( B .1.11)
Identifions les termes de même puissance en l dans chaque membre de (B.1.11) ; on
obtient la relation de récurrence :
d
dx
H n (x) = 2nH n−1 (x)
( B .1.12)