Annexe B
Compléments mathématiques
B.1 POLYNÔMES D’HERMITE
B.1.1 Définition
Le polynôme H n (x) défini par :
H n (x) = (−1)
n e
x
2 d
n
dx n e
−x
2
(B.1.1)
est appelé polynôme d’Hermite de degré n.
Cette définition permet de calculer facilement les premiers polynômes d’Hermite :
H 0 (x) = 1 ; H 1 (x) = 2x ; H 2 (x) = 4x
2
− 2 ; H 3 (x) = 8x
3
− 12x ;
H 4 (x) = 16x
4
− 48x
2 + 12 ; etc
(B.1.2)
Le polynôme H n (x) développé suivant les puissances décroissantes de x s’écrit :
H n (x) = (2x)
n
−
n(n − 1)
1
(2x)
n−2 +
n(n − 1)(n − 2)(n − 3)
1 × 2
(2x)
n−4
− ... (B.1.3)
B.1.2 Fonction génératrice
Considérons la fonction f (x + l) :
f (x + l) = e
−(x+l)
2
(B.1.4)