422
17 • Action d’un champ magnétique
Solution.
1. L’énergie d’interaction du champ magnétique B avec les moments magnétiques de spin,
M S (spin électronique) et M I (spin nucléaire), de l’atome d’hydrogène, est :
W Z = −(M S + M I )·B
(1)
L’hamiltonien complet de spin s’écrit, compte tenu de l’hamiltonien hyperfin :
H Z = v e S z + v n I z +
A
2 I·S
(2)
2. Les matrices de Pauli sont liées au spin par S = ( /2)s e , I = ( /2)s n , d’où :
H Z =
2
(v e s ez + v n s nz + a s e ·s n )
( 3 )
3. L’action des opérateurs représentés par les matrices de Pauli sur les vecteurs |+ et |−− est
donnée par les relations (7) de l’exercice 10.2, soit :
s x |±± = |∓∓ ; s y |±± = ±i |∓∓ ; s z |±± = ±|±±
(4)
On a : s e ·s n = s ex s nx + s ey s ny + s ez s nz . Chaque matrice s e et s n n’opère respectivement
que sur les états relatifs aux spins électronique ou nucléaire. Par exemple :
s ex s nx |´ e ⊗ |´ n = s ex |´ e ⊗ s nx |´ n
(5)
d’où :
s ex s nx | + + = |−− ⊗ |−− = | − −−
(6)
De même, les relations (4) nous donnent :
s ey s ny | + + = −| − −− ; s ez s nz | + + = | + +
(7)
En additionnant (6) et (7), il vient :
s e ·s n | + + = | + +
(8)
Des calculs analogues donnent :
s e ·s n | + −− = 2| − + − | + −− ; s e ·s n | − + = 2| + −− − | − +
s e ·s n | − −− = | − −−
(9)
4. Classons les vecteurs de base dans l’ordre suivant : | + +, | + −−, | − +, | − −−. Les
éléments matriciels de H Z sont donnés par : ´ e ´ n | H Z |´ e ´ n . Par exemple :
+ + |
2
(v e s ez + v n s nz + as e ·s n )| + + =
2
(v e + v n + a)
(10)
d’où la matrice :
H Z =
2
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
v e + v n + a
0
0
0
0
2 v − a
2a
0
0
2 a
−2v − a
0
0
0
0
−(v e + v n ) + a
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
(11)
Aux valeurs propres E
(1) ± = ( /2)[±(v e + v n ) + a] correspondent les vecteurs propres
respectifs | + + et | − −−. On a, d’autre part, les valeurs propres :
E
(2) ± =
−
a
2
±
√
v 2 + a 2
(12)
17 • Action d’un champ magnétique
Solution.
1. L’énergie d’interaction du champ magnétique B avec les moments magnétiques de spin,
M S (spin électronique) et M I (spin nucléaire), de l’atome d’hydrogène, est :
W Z = −(M S + M I )·B
(1)
L’hamiltonien complet de spin s’écrit, compte tenu de l’hamiltonien hyperfin :
H Z = v e S z + v n I z +
A
2 I·S
(2)
2. Les matrices de Pauli sont liées au spin par S = ( /2)s e , I = ( /2)s n , d’où :
H Z =
2
(v e s ez + v n s nz + a s e ·s n )
( 3 )
3. L’action des opérateurs représentés par les matrices de Pauli sur les vecteurs |+ et |−− est
donnée par les relations (7) de l’exercice 10.2, soit :
s x |±± = |∓∓ ; s y |±± = ±i |∓∓ ; s z |±± = ±|±±
(4)
On a : s e ·s n = s ex s nx + s ey s ny + s ez s nz . Chaque matrice s e et s n n’opère respectivement
que sur les états relatifs aux spins électronique ou nucléaire. Par exemple :
s ex s nx |´ e ⊗ |´ n = s ex |´ e ⊗ s nx |´ n
(5)
d’où :
s ex s nx | + + = |−− ⊗ |−− = | − −−
(6)
De même, les relations (4) nous donnent :
s ey s ny | + + = −| − −− ; s ez s nz | + + = | + +
(7)
En additionnant (6) et (7), il vient :
s e ·s n | + + = | + +
(8)
Des calculs analogues donnent :
s e ·s n | + −− = 2| − + − | + −− ; s e ·s n | − + = 2| + −− − | − +
s e ·s n | − −− = | − −−
(9)
4. Classons les vecteurs de base dans l’ordre suivant : | + +, | + −−, | − +, | − −−. Les
éléments matriciels de H Z sont donnés par : ´ e ´ n | H Z |´ e ´ n . Par exemple :
+ + |
2
(v e s ez + v n s nz + as e ·s n )| + + =
2
(v e + v n + a)
(10)
d’où la matrice :
H Z =
2
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
v e + v n + a
0
0
0
0
2 v − a
2a
0
0
2 a
−2v − a
0
0
0
0
−(v e + v n ) + a
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
(11)
Aux valeurs propres E
(1) ± = ( /2)[±(v e + v n ) + a] correspondent les vecteurs propres
respectifs | + + et | − −−. On a, d’autre part, les valeurs propres :
E
(2) ± =
−
a
2
±
√
v 2 + a 2
(12)