Exercices
421
3. Lorsque les champs B et E agissent simultanément, la perturbation est égale à
V
(3) = V
(1) +V
(2) . On choisit l’ordre suivant de classement des vecteurs d’état : |2, 1, 1, |2, 1, 0,
|2, 1, −1, |2, 0, 0, d’où la matrice de V
(3) :
⎡
⎢
⎢
⎣
v L 0
0
a
0 0
0
0
0 0 −v L −a
a 0 −a
0
⎤
⎥
⎥
⎦
(7)
Les valeurs propres de cette matrice donnent les déplacements des niveaux d’énergie. L’équation caractéristique est :
l
2 (v
2
L + 2a
2
− l
2 ) = 0
( 8 )
d’où les déplacements des niveaux :
E 0
(1) = 0
( 9 )
et
E ±
(1) = ±
v 2
L + 2a 2
(10)
Sans tenir compte du spin, le niveau E 2 reste doublement dégénéré.
Exercice 17.3. Transitions électroniques et nucléaires de l’atome
d’hydrogène sous l’action d’un champ magnétique
1. Un atome d’hydrogène est plongé dans un champ magnétique B parallèle à Oz. Écrire l’hamiltonien Zeeman H Z de structure fine et hyperfine de l’atome en ne prenant en compte que les interactions dues aux
spins électronique et nucléaire. L’interaction hyperfine est de la forme :
W hZ = (A /
2 )I·S. On pose v e = 2m B B/ ; v n = −g I m N B/
2. Écrire H Z en fonction des matrices de Pauli s e et s n agissant respectivement dans l’espace des états de spin de l’électron et dans celui du noyau.
On pose : A = 2 a.
3. On note |´ e , ´ n = |´ e ⊗ |´ n , avec ´ e = ±1 et ´ n = ±1, les vecteurs
propres communs à S z et I z . Ces vecteurs forment une base de l’espace
des états de spin de l’atome. Calculer l’action de la matrice s e ·s n sur les
vecteurs |´ e , ´ n .
4. Calculer l’expression de la matrice de l’hamiltonien H Z sur la base
{|´ e , ´ n }. Déterminer les valeurs et les vecteurs propres de cette matrice.
On pose : v = (v e − v n )/2.
5. Le champ B est tel que |v e | | |a|. Déterminer les valeurs approchées
des valeurs propres, au premier ordre en a/v.
6. Un champ électromagnétique ne peut induire des transitions qu’entre
deux états qui ne diffèrent que par la valeur d’un seul spin. Classer ensemble les transitions électroniques et nucléaires possibles, dans l’approximation |v e | | |a|.
7. Déterminer les fréquences correspondant à ces transitions pour un
champ magnétique de 1 tesla. On a : A /2p = 1 420 MHz.
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3. Lorsque les champs B et E agissent simultanément, la perturbation est égale à
V
(3) = V
(1) +V
(2) . On choisit l’ordre suivant de classement des vecteurs d’état : |2, 1, 1, |2, 1, 0,
|2, 1, −1, |2, 0, 0, d’où la matrice de V
(3) :
⎡
⎢
⎢
⎣
v L 0
0
a
0 0
0
0
0 0 −v L −a
a 0 −a
0
⎤
⎥
⎥
⎦
(7)
Les valeurs propres de cette matrice donnent les déplacements des niveaux d’énergie. L’équation caractéristique est :
l
2 (v
2
L + 2a
2
− l
2 ) = 0
( 8 )
d’où les déplacements des niveaux :
E 0
(1) = 0
( 9 )
et
E ±
(1) = ±
v 2
L + 2a 2
(10)
Sans tenir compte du spin, le niveau E 2 reste doublement dégénéré.
Exercice 17.3. Transitions électroniques et nucléaires de l’atome
d’hydrogène sous l’action d’un champ magnétique
1. Un atome d’hydrogène est plongé dans un champ magnétique B parallèle à Oz. Écrire l’hamiltonien Zeeman H Z de structure fine et hyperfine de l’atome en ne prenant en compte que les interactions dues aux
spins électronique et nucléaire. L’interaction hyperfine est de la forme :
W hZ = (A /
2 )I·S. On pose v e = 2m B B/ ; v n = −g I m N B/
2. Écrire H Z en fonction des matrices de Pauli s e et s n agissant respectivement dans l’espace des états de spin de l’électron et dans celui du noyau.
On pose : A = 2 a.
3. On note |´ e , ´ n = |´ e ⊗ |´ n , avec ´ e = ±1 et ´ n = ±1, les vecteurs
propres communs à S z et I z . Ces vecteurs forment une base de l’espace
des états de spin de l’atome. Calculer l’action de la matrice s e ·s n sur les
vecteurs |´ e , ´ n .
4. Calculer l’expression de la matrice de l’hamiltonien H Z sur la base
{|´ e , ´ n }. Déterminer les valeurs et les vecteurs propres de cette matrice.
On pose : v = (v e − v n )/2.
5. Le champ B est tel que |v e | | |a|. Déterminer les valeurs approchées
des valeurs propres, au premier ordre en a/v.
6. Un champ électromagnétique ne peut induire des transitions qu’entre
deux états qui ne diffèrent que par la valeur d’un seul spin. Classer ensemble les transitions électroniques et nucléaires possibles, dans l’approximation |v e | | |a|.
7. Déterminer les fréquences correspondant à ces transitions pour un
champ magnétique de 1 tesla. On a : A /2p = 1 420 MHz.