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17 • Action d’un champ magnétique
Exercice 17.2. Déplacements du niveau d’énergie d’un atome
d’hydrogène sous l’action des champs électrique
et magnétique
1. Un atome d’hydrogène est plongé dans un champ magnétique B parallèle à l’axe Oz. Déterminer les déplacements d’énergie du niveau n = 2 dus
au champ B, en utilisant la méthode des perturbations au premier ordre. On
négligera les effets dus au spin de l’électron.
2. L’atome d’hydrogène est à présent soumis à un champ électrique E
parallèle à l’axe Ox. Déterminer la matrice de l’opérateur de perturbation
restreinte au sous-espace des états n = 2.
3. L’atome est soumis simultanément aux champs B et E ci-dessus. Calculer les déplacements d’énergie du niveau n = 2.
Solution.
1. Le moment magnétique orbital de l’électron est : M = −g L. L’opérateur de perturbation
dû au champ B s’écrit :
V
(1) = −M·B = gBL z = v L L z
(1)
Les états |nlm étant des vecteurs propres de L z , sa matrice est diagonale et ses éléments
matriciels non-nuls donnent les termes correctifs de perturbation au premier ordre. Pour le
niveau n = 2, on a :
E 2lm
(1) = 2lm| v L L z |2lm
(2)
Pour l = 0, l’état 2s donne : E 2,0,0
(1) = 0. Pour l = 1, les états 2p donnent :
m = 0 : E 2,1,0
(1) = 0 ; m = 1 : E 2,1,1
(1) = v L ; m = −1 : E 2,1,−1
(1) = − v L
2. Le moment dipolaire électrique de l’atome s’écrit : D = −e 0 r. L’opérateur de perturbation
V
(2) dû au champ électrique E est :
V
(2) = e 0 R·E = e 0 XE
(3)
Les éléments matriciels de V
(2) sur le sous-espace des états n = 2 sont :
V
(2)
l m lm = 2l
m
| e 0 XE |2lm
(4)
Les fonctions d’onde c 2lm (r, u, w) étant en coordonnées sphériques, l’opérateur X s’écrit en
fonction de ces coordonnées : x = r sin u cos w, d’où :
V
(2)
l m lm = e 0 E
∞
0
R 2l (r) r
3 R 2l (r) dr
Y
∗
l m (u, w) sin
2 u cos w Y lm (u, w) du dw (5)
Les intégrales angulaires sont nulles pour l = l
= 0 et l = l
= 1. Seuls ne sont pas nuls les
termes avec l
= 0, l = 1 et l
= 1, l = 0, avec m = ±1. On obtient les éléments matriciels
suivants non nuls :
2, 1, 1| V
(2)
|2, 0, 0 = 2, 0, 0| V
(2)
|2, 1, 1 = a
2, 1, −1| V
(2)
|2, 0, 0 = 2, 0, 0| V
(2)
|2, 1, −1 = − a
(6)
avec a = −12p´ 0 E /
√
2m e e 0 .
17 • Action d’un champ magnétique
Exercice 17.2. Déplacements du niveau d’énergie d’un atome
d’hydrogène sous l’action des champs électrique
et magnétique
1. Un atome d’hydrogène est plongé dans un champ magnétique B parallèle à l’axe Oz. Déterminer les déplacements d’énergie du niveau n = 2 dus
au champ B, en utilisant la méthode des perturbations au premier ordre. On
négligera les effets dus au spin de l’électron.
2. L’atome d’hydrogène est à présent soumis à un champ électrique E
parallèle à l’axe Ox. Déterminer la matrice de l’opérateur de perturbation
restreinte au sous-espace des états n = 2.
3. L’atome est soumis simultanément aux champs B et E ci-dessus. Calculer les déplacements d’énergie du niveau n = 2.
Solution.
1. Le moment magnétique orbital de l’électron est : M = −g L. L’opérateur de perturbation
dû au champ B s’écrit :
V
(1) = −M·B = gBL z = v L L z
(1)
Les états |nlm étant des vecteurs propres de L z , sa matrice est diagonale et ses éléments
matriciels non-nuls donnent les termes correctifs de perturbation au premier ordre. Pour le
niveau n = 2, on a :
E 2lm
(1) = 2lm| v L L z |2lm
(2)
Pour l = 0, l’état 2s donne : E 2,0,0
(1) = 0. Pour l = 1, les états 2p donnent :
m = 0 : E 2,1,0
(1) = 0 ; m = 1 : E 2,1,1
(1) = v L ; m = −1 : E 2,1,−1
(1) = − v L
2. Le moment dipolaire électrique de l’atome s’écrit : D = −e 0 r. L’opérateur de perturbation
V
(2) dû au champ électrique E est :
V
(2) = e 0 R·E = e 0 XE
(3)
Les éléments matriciels de V
(2) sur le sous-espace des états n = 2 sont :
V
(2)
l m lm = 2l
m
| e 0 XE |2lm
(4)
Les fonctions d’onde c 2lm (r, u, w) étant en coordonnées sphériques, l’opérateur X s’écrit en
fonction de ces coordonnées : x = r sin u cos w, d’où :
V
(2)
l m lm = e 0 E
∞
0
R 2l (r) r
3 R 2l (r) dr
Y
∗
l m (u, w) sin
2 u cos w Y lm (u, w) du dw (5)
Les intégrales angulaires sont nulles pour l = l
= 0 et l = l
= 1. Seuls ne sont pas nuls les
termes avec l
= 0, l = 1 et l
= 1, l = 0, avec m = ±1. On obtient les éléments matriciels
suivants non nuls :
2, 1, 1| V
(2)
|2, 0, 0 = 2, 0, 0| V
(2)
|2, 1, 1 = a
2, 1, −1| V
(2)
|2, 0, 0 = 2, 0, 0| V
(2)
|2, 1, −1 = − a
(6)
avec a = −12p´ 0 E /
√
2m e e 0 .