Exercices
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c) Spectrographie des radiofréquences
De nombreuses applications de la résonance magnétique existent également pour
l’étude des ions et des molécules. C’est le cas, par exemple, des phénomènes de
résonance paramagnétique électronique (RPE), encore appelée résonance de spin
électronique.
De manière générale, l’étude des transitions obtenues en soumettant un échantillon
à un champ alternatif de haute fréquence, de nature électrique ou magnétique, couvre
le vaste domaine de ce qu’on appelle la spectrographie des radiofréquences .
EXERCICES
Exercice 17.1. Facteur de Landé
Soit {|nljm j } le système de vecteurs propres communs à L
2 , J
2 , S
2 , J z . On
se propose de calculer les éléments matriciels diagonaux de l’opérateur S z
dans ce système de vecteurs propres.
1. Si on représente classiquement le spin S par un vecteur, ce dernier tourne
autour du vecteur J qui est un vecteur conservatif, dans un état non perturbé. Par raison de symétrie, la valeur moyenne S M de S est un vecteur
dirigé selon J. Déterminer l’expression de S M en fonction de J.
2. On pose nljm j | S z |nljm j = m j (g − 1). Calculer la valeur de g.
Solution.
1. Puisque le vecteur S M est dirigé suivant J, on a : S M = aJ. Multipliant scalairement par
J, il vient : J·S M = aJ
2 , d’où : a = J·S M /J
2 = J·S/J
2 , soit :
S M =
J·S
J
2
J
(1)
2. Pour la composante selon l’axe Oz, il vient : S Mz = (J·S/J
2 )J z . Remplaçons ces vecteurs
par les opérateurs correspondants. À la composante S Mz correspond la valeur moyenne S z .
La valeur propre de l’opérateur J z sur la base {|nljm j } est égale à m j et celle de J
2 est :
2 j(j + 1). D’autre part, on a :
J·S =
1
2
(J
2
− L
2 + S
2 )
( 2 )
d’où la valeur propre de J·S : (
2 /2)[j(j + 1) − l(l + 1) + s(s + 1)]. La formule (1) nous donne
après projection sur l’axe des z :
S z =
1
2
m j
j( j + 1) − l(l + 1) + s(s + 1)
j( j + 1)
(3)
On a : nljm j | S z |nljm j = m j (g − 1) = S z , d’où l’expression du facteur de Landé g :
g = 1 +
1
2
j( j + 1) − l(l + 1) + s(s + 1)
j( j + 1)
(4)