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17 • Action d’un champ magnétique
Posons a(t) = h(t) exp(−iv 0 t), b(t) = g(t) exp(iv 0 t) ; reportant ces expressions
dans (17.4.5) et développant le produit des matrices, on obtient deux équations différentielles couplées :
i
dh(t)
dt
= v 1 e
i(vL−v)t g(t)
(17.4.6a)
i
dg(t)
dt
= v 1 e
−i(vL−v)t h(t)
(17.4.6b)
Éliminons g(t) en dérivant par rapport au temps la première de ces équations et en
substituant dg(t)/dt ainsi obtenu dans la seconde ; il vient :
d
2 h(t)
dt 2 − i(v L − v)
dh(t)
dt
+ v
2
1 h(t) = 0
(17.4.7)
En cherchant des solutions sous la forme h(t) = c exp(ilt), l’équation caractéristique
nous donne pour racines :
l ± =
1
2
v L − v ±
(v L − v) 2 + 4v 2
1
(17.4.8)
Posons l 1 = l + et l 2 = l − . La solution générale de l’équation (17.4.7) est de la
forme : h(t) = c 1 exp(il 1 t) + c 2 exp(il 2 t). En reportant cette solution dans l’équation
(17.4.6a), on obtient l’expression de g(t). Finalement, les solutions a(t) et b(t) sont
donc les suivantes :
a(t) = e
−iv0t (c 1 e
il1t + c 2 e
il2t )
b(t) = −
1
v 1
e
−i(v0−v)t (l 1 c 1 e
il1t + l 2 c 2 e
il2t )
(17.4.9)
Déterminons les constantes c 1 et c 2 en supposant qu’au temps t = 0 l’électron soit
dans l’état correspondant à m s = −1/2. Dans ce cas, a(t = 0) = 0 et b(t = 0) = 1.
On en déduit les constantes en faisant t = 0 dans (17.4.9), d’où :
c 1 =
v 1
l 2 − l 1
= −c 2
(17.4.10)
c) Résonance magnétique
Calculons la probabilité P 1 (t, v) pour qu’au temps t l’électron ait un spin dans l’état
m s = 1/2 ; on obtient :
P 1 (t, v) = |a(t)|
2 =
4v
2
1
(v L − v) 2 + 4v 2
1
1 − cos
(v L − v) 2 + 4v 2
1 t
2
(17.4.11)
La probabilité P 1 (t, v) est le produit d’un premier facteur qui présente un maximum
lorsque v = v L , par un second, toujours positif, qui oscille entre zéro et un. Pour
v = v L , la probabilité devient :
P 1 (t, v L ) =
1
2
(1 − cos 2v 1 t)
(17.4.12)
17 • Action d’un champ magnétique
Posons a(t) = h(t) exp(−iv 0 t), b(t) = g(t) exp(iv 0 t) ; reportant ces expressions
dans (17.4.5) et développant le produit des matrices, on obtient deux équations différentielles couplées :
i
dh(t)
dt
= v 1 e
i(vL−v)t g(t)
(17.4.6a)
i
dg(t)
dt
= v 1 e
−i(vL−v)t h(t)
(17.4.6b)
Éliminons g(t) en dérivant par rapport au temps la première de ces équations et en
substituant dg(t)/dt ainsi obtenu dans la seconde ; il vient :
d
2 h(t)
dt 2 − i(v L − v)
dh(t)
dt
+ v
2
1 h(t) = 0
(17.4.7)
En cherchant des solutions sous la forme h(t) = c exp(ilt), l’équation caractéristique
nous donne pour racines :
l ± =
1
2
v L − v ±
(v L − v) 2 + 4v 2
1
(17.4.8)
Posons l 1 = l + et l 2 = l − . La solution générale de l’équation (17.4.7) est de la
forme : h(t) = c 1 exp(il 1 t) + c 2 exp(il 2 t). En reportant cette solution dans l’équation
(17.4.6a), on obtient l’expression de g(t). Finalement, les solutions a(t) et b(t) sont
donc les suivantes :
a(t) = e
−iv0t (c 1 e
il1t + c 2 e
il2t )
b(t) = −
1
v 1
e
−i(v0−v)t (l 1 c 1 e
il1t + l 2 c 2 e
il2t )
(17.4.9)
Déterminons les constantes c 1 et c 2 en supposant qu’au temps t = 0 l’électron soit
dans l’état correspondant à m s = −1/2. Dans ce cas, a(t = 0) = 0 et b(t = 0) = 1.
On en déduit les constantes en faisant t = 0 dans (17.4.9), d’où :
c 1 =
v 1
l 2 − l 1
= −c 2
(17.4.10)
c) Résonance magnétique
Calculons la probabilité P 1 (t, v) pour qu’au temps t l’électron ait un spin dans l’état
m s = 1/2 ; on obtient :
P 1 (t, v) = |a(t)|
2 =
4v
2
1
(v L − v) 2 + 4v 2
1
1 − cos
(v L − v) 2 + 4v 2
1 t
2
(17.4.11)
La probabilité P 1 (t, v) est le produit d’un premier facteur qui présente un maximum
lorsque v = v L , par un second, toujours positif, qui oscille entre zéro et un. Pour
v = v L , la probabilité devient :
P 1 (t, v L ) =
1
2
(1 − cos 2v 1 t)
(17.4.12)