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17 • Action d’un champ magnétique
La matrice de S z sur la base |F, m F se calcule aisément en utilisant les relations (17.3.4) et (17.3.6). En classant les vecteurs de base dans l’ordre |1, 1,
|1, −1, |1, 0, |0, 0, on obtient la matrice suivante pour l’opérateur de perturbation
A I·S + 2v L S z :
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
(A
2 /4) + v L
0
0
0
0
( A
2 /4) − v L
0
0
0
0
A
2 /4
v L
0
0
v L
−3A
2 /4
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
(17.3.12)
Les sous-matrices d’ordre un qui figurent dans (17.3.12) donnent les valeurs propres
suivantes :
E 1 = (A
2 /4) + v L ; E 2 = (A
2 /4) − v L
(17.3.13)
La valeur E 1 est associée à l’état |F = 1, m F = 1 et E 2 à |F = 1, m F = −1. Ces
deux niveaux ont déjà été obtenus en champs faible et fort, et sont représentés, sur la
figure 17.4, par deux droites en trait plein de pentes 1 et −1, d’origine A
2 /4.
L’équation aux valeurs propres de la sous-matrice d’ordre deux qui figure dans
(17.3.12) s’écrit :
A
2
4
− E
−3A
2
4
− E
−
2 v
2
L = 0
(17.3.14)
Les racines de cette équation nous donnent les valeurs propres :
E 3 = (−A
2 /4) + [(A
2 /2)
2 +
2 v
2
L ]
1/2
E 4 = (−A
2 /4) − [(A
2 /2)
2 +
2 v
2
L ]
1/2
(17.3.15)
La valeur E 3 est associée à l’état |F = 1, m F = 0 et E 4 à |F = 0, m F = 0.
Ces niveaux sont représentés sur la figure 17.4, en trait plein, par les deux branches
d’une hyperbole. Les tangentes à ces branches en v L = 0 sont horizontales, ce qui
correspond, dans l’approximation faite en champ faible, à une perturbation nulle de
S z sur les états hyperfins |F = 1, m F = 0 et |F = 0, m F = 0.
Les asymptotes de cette hyperbole, en traits pointillés, sont les droites d’équation :
E = −(A
2 /4) ± v L
(17.3.16)
obtenues dans l’approximation du champ fort et correspondant aux états
|m s = 1/2, m I = −1/2 et |m s = −1/2, m I = 1/2.
17 • Action d’un champ magnétique
La matrice de S z sur la base |F, m F se calcule aisément en utilisant les relations (17.3.4) et (17.3.6). En classant les vecteurs de base dans l’ordre |1, 1,
|1, −1, |1, 0, |0, 0, on obtient la matrice suivante pour l’opérateur de perturbation
A I·S + 2v L S z :
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
(A
2 /4) + v L
0
0
0
0
( A
2 /4) − v L
0
0
0
0
A
2 /4
v L
0
0
v L
−3A
2 /4
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
(17.3.12)
Les sous-matrices d’ordre un qui figurent dans (17.3.12) donnent les valeurs propres
suivantes :
E 1 = (A
2 /4) + v L ; E 2 = (A
2 /4) − v L
(17.3.13)
La valeur E 1 est associée à l’état |F = 1, m F = 1 et E 2 à |F = 1, m F = −1. Ces
deux niveaux ont déjà été obtenus en champs faible et fort, et sont représentés, sur la
figure 17.4, par deux droites en trait plein de pentes 1 et −1, d’origine A
2 /4.
L’équation aux valeurs propres de la sous-matrice d’ordre deux qui figure dans
(17.3.12) s’écrit :
A
2
4
− E
−3A
2
4
− E
−
2 v
2
L = 0
(17.3.14)
Les racines de cette équation nous donnent les valeurs propres :
E 3 = (−A
2 /4) + [(A
2 /2)
2 +
2 v
2
L ]
1/2
E 4 = (−A
2 /4) − [(A
2 /2)
2 +
2 v
2
L ]
1/2
(17.3.15)
La valeur E 3 est associée à l’état |F = 1, m F = 0 et E 4 à |F = 0, m F = 0.
Ces niveaux sont représentés sur la figure 17.4, en trait plein, par les deux branches
d’une hyperbole. Les tangentes à ces branches en v L = 0 sont horizontales, ce qui
correspond, dans l’approximation faite en champ faible, à une perturbation nulle de
S z sur les états hyperfins |F = 1, m F = 0 et |F = 0, m F = 0.
Les asymptotes de cette hyperbole, en traits pointillés, sont les droites d’équation :
E = −(A
2 /4) ± v L
(17.3.16)
obtenues dans l’approximation du champ fort et correspondant aux états
|m s = 1/2, m I = −1/2 et |m s = −1/2, m I = 1/2.