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17 • Action d’un champ magnétique
a) Sous-espace F = 1
Dans le sous-espace F = 1, l’action de S z sur les vecteurs |F, m F nous donne :
S z |1, 1 =
2
|1, 1 ; S z |1, 0 =
2
|0, 0 ; S z |1, −1 = −
2
|1, −1
(17.3.4)
Les éléments matriciels diagonaux de 2v L S z ont donc pour valeur :
état |1, 1 : v L ; état |1, 0 : 0 ; état |1, −1 : − v L
(17.3.5)
L’effet Zeeman de structure hyperfine lève donc la dégénérescence du niveau hyperfin 1s 1/2 (F = 1) ; on obtient trois sous-niveaux équidistants qui varient linéairement
en fonction de l’intensité B du champ magnétique.
b) Sous-espace F = 0
Dans le sous-espace F = 0, l’action de S z se calcule à l’aide de la formule (10.3.25)
du vecteur |0, 0, d’où :
S z |0, 0 =
2
|1, 0
(17.3.6)
L’élément matriciel 0, 0| S z |0, 0 est donc égal à zéro. Le sous-niveau F = 0,
non dégénéré, ne subit aucun déplacement. Pour les champs faibles, la figure 17.4
schématise les variations des niveaux d’énergie.
17.3.3 Champ fort
Lorsque le champ est fort, le terme 2v L S z devient prépondérant ; il possède une matrice diagonale dans la base |m s , m I . On a :
2v L S z |m s , m I = 2v L m s |m s , m I
(17.3.7)
Les valeurs propres de l’opérateur Zeeman W
(1)
Z = 2v L S z sont donc égales à ± v L
puisque m s = ±1/2 ; chacune d’elles est dégénérée deux fois car m I = ±1/2. On
obtient deux sous-espaces formés des vecteurs propres |m s = 1/2, m I = ±1/2 et
|m s = −1/2, m I = ±1/2 correspondant chacun à une valeur propre de l’opérateur
Zeeman. Ces états propres sont les états d’ordre zéro pour le calcul de la perturbation
hyperfine A I·S.
➤ Sous-niveaux Zeeman
Les matrices de l’opérateur A I·S sont diagonales dans les deux sous-espaces
{|m s = 1/2, m I = ±1/2} et {|m s = −1/2, m I = ±1/2}. En effet, remarquons
que l’opérateur I·S s’écrit sous la forme :
I·S =
1
2
(F
2
− I
2
− S
2 )
(17.3.8)
et qu’il commute donc avec F z . D’autre part, les vecteurs de base de chacun des sousespaces sont également vecteurs propres de F z mais ne correspondent pas à la même
17 • Action d’un champ magnétique
a) Sous-espace F = 1
Dans le sous-espace F = 1, l’action de S z sur les vecteurs |F, m F nous donne :
S z |1, 1 =
2
|1, 1 ; S z |1, 0 =
2
|0, 0 ; S z |1, −1 = −
2
|1, −1
(17.3.4)
Les éléments matriciels diagonaux de 2v L S z ont donc pour valeur :
état |1, 1 : v L ; état |1, 0 : 0 ; état |1, −1 : − v L
(17.3.5)
L’effet Zeeman de structure hyperfine lève donc la dégénérescence du niveau hyperfin 1s 1/2 (F = 1) ; on obtient trois sous-niveaux équidistants qui varient linéairement
en fonction de l’intensité B du champ magnétique.
b) Sous-espace F = 0
Dans le sous-espace F = 0, l’action de S z se calcule à l’aide de la formule (10.3.25)
du vecteur |0, 0, d’où :
S z |0, 0 =
2
|1, 0
(17.3.6)
L’élément matriciel 0, 0| S z |0, 0 est donc égal à zéro. Le sous-niveau F = 0,
non dégénéré, ne subit aucun déplacement. Pour les champs faibles, la figure 17.4
schématise les variations des niveaux d’énergie.
17.3.3 Champ fort
Lorsque le champ est fort, le terme 2v L S z devient prépondérant ; il possède une matrice diagonale dans la base |m s , m I . On a :
2v L S z |m s , m I = 2v L m s |m s , m I
(17.3.7)
Les valeurs propres de l’opérateur Zeeman W
(1)
Z = 2v L S z sont donc égales à ± v L
puisque m s = ±1/2 ; chacune d’elles est dégénérée deux fois car m I = ±1/2. On
obtient deux sous-espaces formés des vecteurs propres |m s = 1/2, m I = ±1/2 et
|m s = −1/2, m I = ±1/2 correspondant chacun à une valeur propre de l’opérateur
Zeeman. Ces états propres sont les états d’ordre zéro pour le calcul de la perturbation
hyperfine A I·S.
➤ Sous-niveaux Zeeman
Les matrices de l’opérateur A I·S sont diagonales dans les deux sous-espaces
{|m s = 1/2, m I = ±1/2} et {|m s = −1/2, m I = ±1/2}. En effet, remarquons
que l’opérateur I·S s’écrit sous la forme :
I·S =
1
2
(F
2
− I
2
− S
2 )
(17.3.8)
et qu’il commute donc avec F z . D’autre part, les vecteurs de base de chacun des sousespaces sont également vecteurs propres de F z mais ne correspondent pas à la même