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17 • Action d’un champ magnétique
car une valeur m peut être obtenue pour m l = m ± 1 correspondant à m s = ∓1/2.
Les termes diagonaux de L·S sont respectivement donnés par :
m ± 1, ∓1/2| L·S |m ± 1, ∓1/2 = ∓
2
2
(m ± 1) =
2 m s m l
(17.2.22)
car seule la partie L z S z du produit scalaire L·S contribue aux éléments matriciels
diagonaux, ainsi qu’on peut le vérifier aisément en exprimant L x , L y , S x et S y en
fonction des opérateurs L ± et S ± (formule 6.2.4).
L’énergie de perturbation donnée par W SO est donc égale à :
E LS
(1) =
e
2
2
2m 2
e c 2 n l|
1
R 3 |n l m l m s
(17.2.23)
Compte tenu de l’expression de la quantité R
−3
, donnée en (7.3.47), le calcul de
cet élément matriciel a pour expression :
E LS
(1) =
m e e
8
4 c 2
m l m s
n 3 l(l + 1) (2l + 1)
(17.2.24)
Un état |n l m l m s correspond à un niveau d’énergie E PB , défini par les quatre
nombres quantiques n, l, m l , m s et donné par :
E PB = E PB
(0) + E LS
(1)
(17.2.25)
Dans l’expression de E PB figurent les nombres m et les produits m l m s ; si des couples
de nombres (m, m l m s ) sont identiques pour des valeurs m l et m s différentes, le niveau
sera dégénéré et la perturbation W SO lève partiellement cette dégénérescence.
➤ Structure du niveau 3
2 P
Considérons, par exemple, le niveau 3
2 P pour lequel les valeurs de m l sont égales à
−1, 0, 1 et m s = ±1/2. Les couples (m, m l m s ) distincts sont alors les suivants :
(m, m l m s ) : (2, 1/2), (1, 0), (0, −1/2), (−1, 0), (−2, 1/2)
(17.2.26)
L’effet des champs magnétiques intenses sera donc de faire apparaître cinq sousniveaux qui existent déjà dans l’expression de E PB
(0) donnée par (17.2.20). L’énergie
d’interaction spin-orbite ne fait que déplacer ces niveaux sans modifier leur structure.
De manière générale, à un niveau défini par un nombre quantique azimutal l
(l = 0) correspondent (2l + 3) valeurs de m, de −(l + 1) à (l + 1). Les transitions
Paschen-Bach sont prévues par les règles de sélection :
Dl = ±1 ; Dm l = 0, ±1 ; Dm s = 0
(17.2.27)
17 • Action d’un champ magnétique
car une valeur m peut être obtenue pour m l = m ± 1 correspondant à m s = ∓1/2.
Les termes diagonaux de L·S sont respectivement donnés par :
m ± 1, ∓1/2| L·S |m ± 1, ∓1/2 = ∓
2
2
(m ± 1) =
2 m s m l
(17.2.22)
car seule la partie L z S z du produit scalaire L·S contribue aux éléments matriciels
diagonaux, ainsi qu’on peut le vérifier aisément en exprimant L x , L y , S x et S y en
fonction des opérateurs L ± et S ± (formule 6.2.4).
L’énergie de perturbation donnée par W SO est donc égale à :
E LS
(1) =
e
2
2
2m 2
e c 2 n l|
1
R 3 |n l m l m s
(17.2.23)
Compte tenu de l’expression de la quantité R
−3
, donnée en (7.3.47), le calcul de
cet élément matriciel a pour expression :
E LS
(1) =
m e e
8
4 c 2
m l m s
n 3 l(l + 1) (2l + 1)
(17.2.24)
Un état |n l m l m s correspond à un niveau d’énergie E PB , défini par les quatre
nombres quantiques n, l, m l , m s et donné par :
E PB = E PB
(0) + E LS
(1)
(17.2.25)
Dans l’expression de E PB figurent les nombres m et les produits m l m s ; si des couples
de nombres (m, m l m s ) sont identiques pour des valeurs m l et m s différentes, le niveau
sera dégénéré et la perturbation W SO lève partiellement cette dégénérescence.
➤ Structure du niveau 3
2 P
Considérons, par exemple, le niveau 3
2 P pour lequel les valeurs de m l sont égales à
−1, 0, 1 et m s = ±1/2. Les couples (m, m l m s ) distincts sont alors les suivants :
(m, m l m s ) : (2, 1/2), (1, 0), (0, −1/2), (−1, 0), (−2, 1/2)
(17.2.26)
L’effet des champs magnétiques intenses sera donc de faire apparaître cinq sousniveaux qui existent déjà dans l’expression de E PB
(0) donnée par (17.2.20). L’énergie
d’interaction spin-orbite ne fait que déplacer ces niveaux sans modifier leur structure.
De manière générale, à un niveau défini par un nombre quantique azimutal l
(l = 0) correspondent (2l + 3) valeurs de m, de −(l + 1) à (l + 1). Les transitions
Paschen-Bach sont prévues par les règles de sélection :
Dl = ±1 ; Dm l = 0, ±1 ; Dm s = 0
(17.2.27)