17.2 Effet Zeeman de structure fine de l’atome d’hydrogène
407
b) Types d’effets Zeeman
Selon l’intensité du champ, on est conduit à distinguer trois cas qui correspondent à
trois modes de calcul différents.
• Le champ magnétique est relativement faible de sorte que l’hamiltonien W Z peut
être considéré comme petit vis-à-vis de W F . L’hamiltonien de structure fine H 0 + W F
est alors considéré comme un hamiltonien non perturbé, et W Z est traité comme une
perturbation des états |n l s j m j . C’est l’effet Zeeman dit anormal.
• Le champ magnétique est grand et W F est faible devant W Z . Dans ce cas, W F est
traité comme une perturbation de l’hamiltonien H 0 + W Z . C’est l’effet Paschen-Bach.
• Lorsque les interactions W Z et W F sont du même ordre de grandeur, on obtient
un effet Zeeman intermédiaire et, dans ce cas, la somme W Z + W F peut être traitée
comme une perturbation de l’hamiltonien H 0 .
17.2.3 Effet Zeeman anormal
Le champ magnétique étant faible, l’hamiltonien W Z doit être considéré d’ordre un
par rapport à l’hamiltonien non perturbé H 0 + W F qui est d’ordre zéro. Le calcul
de l’énergie de perturbation E
(1) , dans l’approximation du premier ordre, conduit à
utiliser les états propres de H 0 + W F pour obtenir les éléments matriciels diagonaux
de W Z :
E
(1)
Z = j m j | v L (L z + 2S z ) | j m j
(17.2.7)
La notation des états a été allégée puisque W Z ne concerne que les variables orbitales
et de spin. Utilisant l’égalité J z = L z + S z , la relation (17.2.7) s’écrit :
E
(1)
Z = j m j | v L (J z + S z ) | j m j
(17.2.8)
Dans le système de vecteurs propres |n l j m j , la valeur propre de J z est égale à m j ,
d’où :
j m j | v L J z | j m j = v L m j
(17.2.9)
Il reste à calculer l’élément diagonal j m j | v L S z | j m j dans le système de vecteurs
propres |n l j m j qui sont des vecteurs propres de L
2 , J
2 , S
2 et J z . Le calcul réalisé à
titre d’exercice (voir exercice 17.1) montre qu’on obtient :
j m j | v L S z | j m j = v L m j (g − 1)
(17.2.10)
où le coefficient g, appelé facteur de Landé, a pour valeur :
g = 1 +
j( j + 1) − l(l + 1) + s(s + 1)
2j( j + 1)
(17.2.11)
L’énergie de perturbation E
(1)
Z , compte tenu de (17.2.9) et (17.2.10) devient :
E
(1)
Z = v L m j g = m B B g m j
(17.2.12)
On constate que, pour une valeur déterminée de j et l, l’énergie de perturbation dépend de m j ; la dégénérescence du niveau n est donc totalement levée. À un ensemble
407
b) Types d’effets Zeeman
Selon l’intensité du champ, on est conduit à distinguer trois cas qui correspondent à
trois modes de calcul différents.
• Le champ magnétique est relativement faible de sorte que l’hamiltonien W Z peut
être considéré comme petit vis-à-vis de W F . L’hamiltonien de structure fine H 0 + W F
est alors considéré comme un hamiltonien non perturbé, et W Z est traité comme une
perturbation des états |n l s j m j . C’est l’effet Zeeman dit anormal.
• Le champ magnétique est grand et W F est faible devant W Z . Dans ce cas, W F est
traité comme une perturbation de l’hamiltonien H 0 + W Z . C’est l’effet Paschen-Bach.
• Lorsque les interactions W Z et W F sont du même ordre de grandeur, on obtient
un effet Zeeman intermédiaire et, dans ce cas, la somme W Z + W F peut être traitée
comme une perturbation de l’hamiltonien H 0 .
17.2.3 Effet Zeeman anormal
Le champ magnétique étant faible, l’hamiltonien W Z doit être considéré d’ordre un
par rapport à l’hamiltonien non perturbé H 0 + W F qui est d’ordre zéro. Le calcul
de l’énergie de perturbation E
(1) , dans l’approximation du premier ordre, conduit à
utiliser les états propres de H 0 + W F pour obtenir les éléments matriciels diagonaux
de W Z :
E
(1)
Z = j m j | v L (L z + 2S z ) | j m j
(17.2.7)
La notation des états a été allégée puisque W Z ne concerne que les variables orbitales
et de spin. Utilisant l’égalité J z = L z + S z , la relation (17.2.7) s’écrit :
E
(1)
Z = j m j | v L (J z + S z ) | j m j
(17.2.8)
Dans le système de vecteurs propres |n l j m j , la valeur propre de J z est égale à m j ,
d’où :
j m j | v L J z | j m j = v L m j
(17.2.9)
Il reste à calculer l’élément diagonal j m j | v L S z | j m j dans le système de vecteurs
propres |n l j m j qui sont des vecteurs propres de L
2 , J
2 , S
2 et J z . Le calcul réalisé à
titre d’exercice (voir exercice 17.1) montre qu’on obtient :
j m j | v L S z | j m j = v L m j (g − 1)
(17.2.10)
où le coefficient g, appelé facteur de Landé, a pour valeur :
g = 1 +
j( j + 1) − l(l + 1) + s(s + 1)
2j( j + 1)
(17.2.11)
L’énergie de perturbation E
(1)
Z , compte tenu de (17.2.9) et (17.2.10) devient :
E
(1)
Z = v L m j g = m B B g m j
(17.2.12)
On constate que, pour une valeur déterminée de j et l, l’énergie de perturbation dépend de m j ; la dégénérescence du niveau n est donc totalement levée. À un ensemble