17.1 Énergie de couplage
403
L’hamiltonien de l’équation de Pauli est égal à H = H
+ H 3 . Développant le terme
(P + e 0 A)
2 , on obtient :
H =
1
2m e
[P
2 + e 0 (P·A + A·P) + e
2
0 A
2 + e 0 s·B] − e 0 V
(17.1.4)
En général, P ne commute pas avec le vecteur A. Ce dernier étant une fonction des
coordonnées, on peut écrire :
(P·A − A·P)c = −i [∇·(Ac) − A·(∇c)] = −i (∇·A)c
(17.1.5)
On obtient donc la relation de commutation :
[P, A] = −i div A
(17.1.6)
Ainsi, P et A commutent si div A = 0 (jauge de Coulomb). C’est le cas précisément
pour un champ uniforme puisqu’on peut choisir son potentiel vecteur sous la forme :
A =
1
2
B × r
(17.1.7)
Nous allons nous limiter par la suite au cas d’un champ uniforme car les champs
magnétiques qu’on peut obtenir en laboratoire ne varient pratiquement pas sur des
distances comparables aux dimensions atomiques.
17.1.2 Champ uniforme
Adoptons la jauge de Coulomb, div A = 0, et utilisons le potentiel vecteur (17.1.7)
pour écrire l’expression de l’hamiltonien H donné par (17.1.4). Pour cela, développons le terme (P + e 0 A)
2 en remarquant que B est une constante qui commute avec
tous les opérateurs. On obtient :
(P + e 0 A)
2 = P
2
− e 0 (P × R)·B +
1
4
e
2
0 [R
2 B
2
− (R·B)
2 ]
(17.1.8)
Le moment cinétique L = −P × R de la particule apparaît dans le second membre
de (17.1.8). Introduisons les notations suivantes :
H 0 =
1
2m e
P
2
− e 0 V(R) ; H 1 =
m B
L·B ;
H 2 =
e
2
0
8m e
[R
2 B
2
− (R·B)
2 ]
(17.1.9)
avec m B = e 0 /2m e . L’hamiltonien H s’écrit alors sous la forme suivante, avec H 3
donné par (17.1.3) :
H = H 0 + H 1 + H 2 + H 3
(17.1.10)
Si l’on compare l’ordre de grandeur des différents hamiltoniens qui figurent dans
(17.1.10), on s’aperçoit que les effets du champ magnétique B, qui figure dans H 1 ,
H 2 et H 3 , sont toujours faibles devant ceux du champ interne de l’atome. D’autre part,
H 2 est négligeable devant H 1 et il suffit, en général, de ne conserver que le terme H 1
pour étudier les effets d’un champ magnétique sur l’atome.
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L’hamiltonien de l’équation de Pauli est égal à H = H
+ H 3 . Développant le terme
(P + e 0 A)
2 , on obtient :
H =
1
2m e
[P
2 + e 0 (P·A + A·P) + e
2
0 A
2 + e 0 s·B] − e 0 V
(17.1.4)
En général, P ne commute pas avec le vecteur A. Ce dernier étant une fonction des
coordonnées, on peut écrire :
(P·A − A·P)c = −i [∇·(Ac) − A·(∇c)] = −i (∇·A)c
(17.1.5)
On obtient donc la relation de commutation :
[P, A] = −i div A
(17.1.6)
Ainsi, P et A commutent si div A = 0 (jauge de Coulomb). C’est le cas précisément
pour un champ uniforme puisqu’on peut choisir son potentiel vecteur sous la forme :
A =
1
2
B × r
(17.1.7)
Nous allons nous limiter par la suite au cas d’un champ uniforme car les champs
magnétiques qu’on peut obtenir en laboratoire ne varient pratiquement pas sur des
distances comparables aux dimensions atomiques.
17.1.2 Champ uniforme
Adoptons la jauge de Coulomb, div A = 0, et utilisons le potentiel vecteur (17.1.7)
pour écrire l’expression de l’hamiltonien H donné par (17.1.4). Pour cela, développons le terme (P + e 0 A)
2 en remarquant que B est une constante qui commute avec
tous les opérateurs. On obtient :
(P + e 0 A)
2 = P
2
− e 0 (P × R)·B +
1
4
e
2
0 [R
2 B
2
− (R·B)
2 ]
(17.1.8)
Le moment cinétique L = −P × R de la particule apparaît dans le second membre
de (17.1.8). Introduisons les notations suivantes :
H 0 =
1
2m e
P
2
− e 0 V(R) ; H 1 =
m B
L·B ;
H 2 =
e
2
0
8m e
[R
2 B
2
− (R·B)
2 ]
(17.1.9)
avec m B = e 0 /2m e . L’hamiltonien H s’écrit alors sous la forme suivante, avec H 3
donné par (17.1.3) :
H = H 0 + H 1 + H 2 + H 3
(17.1.10)
Si l’on compare l’ordre de grandeur des différents hamiltoniens qui figurent dans
(17.1.10), on s’aperçoit que les effets du champ magnétique B, qui figure dans H 1 ,
H 2 et H 3 , sont toujours faibles devant ceux du champ interne de l’atome. D’autre part,
H 2 est négligeable devant H 1 et il suffit, en général, de ne conserver que le terme H 1
pour étudier les effets d’un champ magnétique sur l’atome.