Exercices
401
Exercice 16.6. Dimension du noyau d’un atome
Le noyau atomique est assimilé à une sphère de rayon R 0 ; la masse
volumique de la matière nucléaire est supposée identique quel que soit
le nombre de masse A de l’atome. On note Z le nombre d’électrons de
l’atome.
1. Le volume V du noyau étant proportionnel à A, montrer que R 0 s’écrit
sous la forme : R 0 = r 0 A
1/3 , où r 0 est une constante indépendante du noyau
étudié.
2. Supposant une distribution uniforme de charge électrique dans le noyau,
calculer son énergie électrostatique sous la forme : E = a c Z
2 /A
1/3 . Déterminer l’expression de a c en fonction de r 0 .
3. La mesure expérimentale donne : a c = 0,7 MeV. En déduire la valeur
de r 0 . Calculer le rayon du noyau du plutonium.
Solution.
1. Le volume d’une sphère est donné par : V = 4pR
3
0 /3. Puisque V = kA, on obtient :
R 0 =
3kA
4p
1/3
= r 0 A
1/3
(1)
2. L’énergie électrostatique du noyau provient de la répulsion entre ses protons. La densité
volumique de charge s’écrit :
r =
3Ze 0
4pR
3
0
(2)
Considérons une charge, de rayon r, égale à 4pr
3 r/3 et amenons de l’infini à la distance r
une charge 4prr
2 dr, afin de créer une couche sphérique comprise entre les sphères de rayon
r et r + dr. L’énergie élémentaire pour amener cette charge est :
dE = (4prr
2 dr)
1
4p´ 0 r
4pr
3 r
3
=
4p
3´ 0
r
2 r
4 dr
(3)
L’énergie totale de création d’une charge sphérique de rayon R 0 est :
E =
R0
0
4p
3´ 0
r
2 r
4 dr =
4p
15´ 0
r
2 R
5
0
(4)
Remplaçant R 0 par l’expression (1) et r par la formule (2), il vient :
E =
a c Z
2
A 1/3 ; a c =
3e
2
0
20p´ 0 r 0
(5)
3. L’expression précédente de a c nous donne :
r 0 = 1,23 × 10
−15 m = 1,23 fm
(6)
Pour le plutonium, A = 239, d’où le rayon de son noyau :
R 0 = r 0 A
1/3 = 7,63 fm
(7)
Les rayons des noyaux atomiques sont de l’ordre de quelques femtomètres.
401
Exercice 16.6. Dimension du noyau d’un atome
Le noyau atomique est assimilé à une sphère de rayon R 0 ; la masse
volumique de la matière nucléaire est supposée identique quel que soit
le nombre de masse A de l’atome. On note Z le nombre d’électrons de
l’atome.
1. Le volume V du noyau étant proportionnel à A, montrer que R 0 s’écrit
sous la forme : R 0 = r 0 A
1/3 , où r 0 est une constante indépendante du noyau
étudié.
2. Supposant une distribution uniforme de charge électrique dans le noyau,
calculer son énergie électrostatique sous la forme : E = a c Z
2 /A
1/3 . Déterminer l’expression de a c en fonction de r 0 .
3. La mesure expérimentale donne : a c = 0,7 MeV. En déduire la valeur
de r 0 . Calculer le rayon du noyau du plutonium.
Solution.
1. Le volume d’une sphère est donné par : V = 4pR
3
0 /3. Puisque V = kA, on obtient :
R 0 =
3kA
4p
1/3
= r 0 A
1/3
(1)
2. L’énergie électrostatique du noyau provient de la répulsion entre ses protons. La densité
volumique de charge s’écrit :
r =
3Ze 0
4pR
3
0
(2)
Considérons une charge, de rayon r, égale à 4pr
3 r/3 et amenons de l’infini à la distance r
une charge 4prr
2 dr, afin de créer une couche sphérique comprise entre les sphères de rayon
r et r + dr. L’énergie élémentaire pour amener cette charge est :
dE = (4prr
2 dr)
1
4p´ 0 r
4pr
3 r
3
=
4p
3´ 0
r
2 r
4 dr
(3)
L’énergie totale de création d’une charge sphérique de rayon R 0 est :
E =
R0
0
4p
3´ 0
r
2 r
4 dr =
4p
15´ 0
r
2 R
5
0
(4)
Remplaçant R 0 par l’expression (1) et r par la formule (2), il vient :
E =
a c Z
2
A 1/3 ; a c =
3e
2
0
20p´ 0 r 0
(5)
3. L’expression précédente de a c nous donne :
r 0 = 1,23 × 10
−15 m = 1,23 fm
(6)
Pour le plutonium, A = 239, d’où le rayon de son noyau :
R 0 = r 0 A
1/3 = 7,63 fm
(7)
Les rayons des noyaux atomiques sont de l’ordre de quelques femtomètres.