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16 • Noyau atomique et structure hyperfine des niveaux électroniques
Remplaçons les moments électriques m 1 et m 2 par les moments magnétiques dans l’expression (3) et la constante électrostatique par m 0 /4p. Le vecteur u peut être remplacé par R/R ;
il vient :
W m =
m 0
4p
M 1 ·M 2
R 3 −
3(M 1 ·R) (M 2 ·R)
R 5
(5)
Exercice 16.5. Champ magnétique à l’intérieur du proton
Le potentiel vecteur A I créé par le moment magnétique M I du proton, de
rayon r 0 , est donné par (16.3.10), soit :
A I =
m 0
4p
M I × r
r 3
(1)
1. Calculer les composantes du champ magnétique B dont dérive le potentiel vecteur A, à l’extérieur du proton, en supposant M I parallèle à l’axe
Oz.
2. On suppose que le champ magnétique B i à l’intérieur du proton est uniforme. Déterminer B i = ||B i || en écrivant la nullité du flux du champ
magnétique sortant d’une surface fermée formée par une demi-sphère de
centre O, de rayon R → ∞, et le plan xOy.
Solution.
1. Lorsque M I est parallèle à Oz, les composantes de A I sont données par :
A x = −
m 0 M I
4p
y
r 3 ; A y =
m 0 M I
4p
x
r 3 ; A z = 0
( 2 )
Le calcul de B = ∇ × A I donne les composantes :
B x =
3m 0
4p
M I
xz
r 5 ; B y =
3m 0
4p
M I
yz
r 5 ; B z =
m 0
4p
M I
3z
2
− r
2
r 5
(3)
2. Notons w 1 le flux à travers le cercle de centre O, de rayon r 0 égal au rayon du proton, et
situé dans le plan xOy. Soit w 2 le flux à travers la partie restante de ce plan. On a w 1 + w 2 = 0.
Par raison de symétrie, le champ B i est parallèle à M I et donc à Oz. Le flux w 1 est celui créé
par B i à travers la surface pr
2
0 , soit :
w 1 = pr
2
0 B i
(4)
Seule la composante B z du champ magnétique extérieur au proton apporte une contribution à
w 2 . En z = 0, B z est donné par :
B z = −
m 0
4p
M I
1
r 3
(5)
Le flux à travers une couronne de surface 2prdr est : dw 2 = 2prdrB z , d’où :
w 2 = −2p
∞
r0
m 0
4p
M I
1
r 2 dr = −
m 0 M I
2r 0
(6)
La somme des flux donnés par (4) et (6) étant nulle, il vient : B i =
m 0 M I
2pr
3
0
.
16 • Noyau atomique et structure hyperfine des niveaux électroniques
Remplaçons les moments électriques m 1 et m 2 par les moments magnétiques dans l’expression (3) et la constante électrostatique par m 0 /4p. Le vecteur u peut être remplacé par R/R ;
il vient :
W m =
m 0
4p
M 1 ·M 2
R 3 −
3(M 1 ·R) (M 2 ·R)
R 5
(5)
Exercice 16.5. Champ magnétique à l’intérieur du proton
Le potentiel vecteur A I créé par le moment magnétique M I du proton, de
rayon r 0 , est donné par (16.3.10), soit :
A I =
m 0
4p
M I × r
r 3
(1)
1. Calculer les composantes du champ magnétique B dont dérive le potentiel vecteur A, à l’extérieur du proton, en supposant M I parallèle à l’axe
Oz.
2. On suppose que le champ magnétique B i à l’intérieur du proton est uniforme. Déterminer B i = ||B i || en écrivant la nullité du flux du champ
magnétique sortant d’une surface fermée formée par une demi-sphère de
centre O, de rayon R → ∞, et le plan xOy.
Solution.
1. Lorsque M I est parallèle à Oz, les composantes de A I sont données par :
A x = −
m 0 M I
4p
y
r 3 ; A y =
m 0 M I
4p
x
r 3 ; A z = 0
( 2 )
Le calcul de B = ∇ × A I donne les composantes :
B x =
3m 0
4p
M I
xz
r 5 ; B y =
3m 0
4p
M I
yz
r 5 ; B z =
m 0
4p
M I
3z
2
− r
2
r 5
(3)
2. Notons w 1 le flux à travers le cercle de centre O, de rayon r 0 égal au rayon du proton, et
situé dans le plan xOy. Soit w 2 le flux à travers la partie restante de ce plan. On a w 1 + w 2 = 0.
Par raison de symétrie, le champ B i est parallèle à M I et donc à Oz. Le flux w 1 est celui créé
par B i à travers la surface pr
2
0 , soit :
w 1 = pr
2
0 B i
(4)
Seule la composante B z du champ magnétique extérieur au proton apporte une contribution à
w 2 . En z = 0, B z est donné par :
B z = −
m 0
4p
M I
1
r 3
(5)
Le flux à travers une couronne de surface 2prdr est : dw 2 = 2prdrB z , d’où :
w 2 = −2p
∞
r0
m 0
4p
M I
1
r 2 dr = −
m 0 M I
2r 0
(6)
La somme des flux donnés par (4) et (6) étant nulle, il vient : B i =
m 0 M I
2pr
3
0
.