Exercices
399
Le vecteur m =
i
q i OA i est le moment dipolaire électrique du système de charges. La
contribution de ce moment au potentiel s’écrit :
V 1 (r) =
1
4p´ 0 r 3 m·r
(6)
avec OM = r. Si la somme des charge est nulle,
i
q i = 0, la distribution est dite dipolaire.
Le troisième terme donne la contribution V 2 (r) du moment quadrupolaire électrique au potentiel. Si la somme des charges et le moment dipolaire sont nuls, on a une distribution quadrupolaire.
Exercice 16.4. Énergie d’interaction entre deux moments magnétiques
Soient m 1 = qr 1 et m 2 = qr 2 , deux moments dipolaires électriques situés
à une distance R l’un de l’autre, très supérieure à ||r 1 || et ||r 2 ||.
1. Écrire l’expression de l’opérateur du potentiel électrostatique V 1 (r) créé
par m 1 à la distance R, en utilisant le résultat de l’exercice 16.3.
2. En déduire le champ électrique dont dérive le potentiel V 1 (r).
3. Écrire l’énergie d’interaction électrostatique entre les deux moments dipolaires.
4. Soient M 1 et M 2 deux moments magnétiques. Un calcul classique
d’électromagnétisme montre que les composantes de l’induction magnétique B créée par le moment magnétique M 2 à une grande distance R ont
la même forme que celle du champ électrostatique d’un moment dipolaire
électrique. En déduire l’expression de l’énergie d’interaction entre les deux
moments magnétiques.
Solution.
1. L’expression (6) de l’exercice 16.3 donne l’opérateur décrivant le potentiel au point M
créé par le moment dipolaire m 1 , situé à l’origine O, avec OM = R :
V 1 (R) =
1
4p´ 0 R 3 m 1 ·R
(1)
2. Le champ électrique est donné par : E = −∇ R V 1 ; soit u le vecteur unitaire porté par
OM ; on obtient :
E = −
q
4p´ 0 R 3 [r 1 − 3(r 1 ·u)u]
( 2 )
3. L’énergie d’interaction des deux moments dipolaires est :
W e = −m 2 ·E =
q
2
4p´ 0 R 3 [r 1 ·r 2 − 3(r 1 ·u)(u·r 2 )]
(3)
4. L’énergie d’interaction entre les moments magnétiques s’écrit :
W m = −M 2 ·B
(4)
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Le vecteur m =
i
q i OA i est le moment dipolaire électrique du système de charges. La
contribution de ce moment au potentiel s’écrit :
V 1 (r) =
1
4p´ 0 r 3 m·r
(6)
avec OM = r. Si la somme des charge est nulle,
i
q i = 0, la distribution est dite dipolaire.
Le troisième terme donne la contribution V 2 (r) du moment quadrupolaire électrique au potentiel. Si la somme des charges et le moment dipolaire sont nuls, on a une distribution quadrupolaire.
Exercice 16.4. Énergie d’interaction entre deux moments magnétiques
Soient m 1 = qr 1 et m 2 = qr 2 , deux moments dipolaires électriques situés
à une distance R l’un de l’autre, très supérieure à ||r 1 || et ||r 2 ||.
1. Écrire l’expression de l’opérateur du potentiel électrostatique V 1 (r) créé
par m 1 à la distance R, en utilisant le résultat de l’exercice 16.3.
2. En déduire le champ électrique dont dérive le potentiel V 1 (r).
3. Écrire l’énergie d’interaction électrostatique entre les deux moments dipolaires.
4. Soient M 1 et M 2 deux moments magnétiques. Un calcul classique
d’électromagnétisme montre que les composantes de l’induction magnétique B créée par le moment magnétique M 2 à une grande distance R ont
la même forme que celle du champ électrostatique d’un moment dipolaire
électrique. En déduire l’expression de l’énergie d’interaction entre les deux
moments magnétiques.
Solution.
1. L’expression (6) de l’exercice 16.3 donne l’opérateur décrivant le potentiel au point M
créé par le moment dipolaire m 1 , situé à l’origine O, avec OM = R :
V 1 (R) =
1
4p´ 0 R 3 m 1 ·R
(1)
2. Le champ électrique est donné par : E = −∇ R V 1 ; soit u le vecteur unitaire porté par
OM ; on obtient :
E = −
q
4p´ 0 R 3 [r 1 − 3(r 1 ·u)u]
( 2 )
3. L’énergie d’interaction des deux moments dipolaires est :
W e = −m 2 ·E =
q
2
4p´ 0 R 3 [r 1 ·r 2 − 3(r 1 ·u)(u·r 2 )]
(3)
4. L’énergie d’interaction entre les moments magnétiques s’écrit :
W m = −M 2 ·B
(4)