398
16 • Noyau atomique et structure hyperfine des niveaux électroniques
Exercice 16.3. Moments multipolaires d’un système de charges
Le potentiel créé à grande distance par une distribution de charges électriques peut être exprimé en fonction des contributions des moments multipolaires électriques du système de charges.
Considérons une charge q située en un point A et soit r la distance qui
sépare un point origine O, situé au voisinage de la charge, d’un point quelconque M, situé à grande distance de q (figure 16.3). Soit u un vecteur
unitaire porté par la droite OM ; la distance OA est notée a.
1. Donner le développement de 1/r A en fonction de a/r pour a r.
2. Écrire l’expression du potentiel V M créé en M par une distribution de N
charges q i situées chacune au point A i au voisinage de O.
3. Donner une interprétation des trois premiers termes du développement
de V M .
Solution.
q
0
r
A
M
r A
u
a
α
Figure 16.3
1. Dans le triangle OAM, on a la relation :
r
2
A = r
2
− 2ar cos a + a
2 = r
2
1 − 2
a
r
cos a +
a
2
r 2
(1)
Pour une distance r a, on obtient le développement en a/r :
1
r A
=
1
r
1 +
a
r
cos a −
a
2
2r 2 +
3
8
−
2a
r
cos a +
a
2
r 2
2
+ ...
=
1
r
+
a
r 2 cos a +
a
2
2r 3 (3 cos
2 a − 1) + ...
(2)
2. Le potentiel créé par une distribution de charges groupées autour de O a pour expression :
V M =
1
4p´ 0
i
q i
r Ai
(3)
où la sommation est étendue à l’ensemble des charges. Utilisant le développement (2) pour
chacune des charges, il vient :
V M =
1
4p´ 0
1
r
i
q i +
1
r 2
i
a i q i cos a i +
1
2r 3
i
a
2
i q i (3 cos
2 a i − 1) + ...
(4)
3. Le premier terme de (4) représente le potentiel créé par une charge unique
i
q i située à
l’origine O.
Soit u le vecteur unitaire porté par la droite OM. Le second terme de (4) s’écrit sous la forme :
1
4p´ 0
1
r 2
i
a i q i cos a i
=
1
4p´ 0 r 2
i
q i OA i
·u
(5)
16 • Noyau atomique et structure hyperfine des niveaux électroniques
Exercice 16.3. Moments multipolaires d’un système de charges
Le potentiel créé à grande distance par une distribution de charges électriques peut être exprimé en fonction des contributions des moments multipolaires électriques du système de charges.
Considérons une charge q située en un point A et soit r la distance qui
sépare un point origine O, situé au voisinage de la charge, d’un point quelconque M, situé à grande distance de q (figure 16.3). Soit u un vecteur
unitaire porté par la droite OM ; la distance OA est notée a.
1. Donner le développement de 1/r A en fonction de a/r pour a r.
2. Écrire l’expression du potentiel V M créé en M par une distribution de N
charges q i situées chacune au point A i au voisinage de O.
3. Donner une interprétation des trois premiers termes du développement
de V M .
Solution.
q
0
r
A
M
r A
u
a
α
Figure 16.3
1. Dans le triangle OAM, on a la relation :
r
2
A = r
2
− 2ar cos a + a
2 = r
2
1 − 2
a
r
cos a +
a
2
r 2
(1)
Pour une distance r a, on obtient le développement en a/r :
1
r A
=
1
r
1 +
a
r
cos a −
a
2
2r 2 +
3
8
−
2a
r
cos a +
a
2
r 2
2
+ ...
=
1
r
+
a
r 2 cos a +
a
2
2r 3 (3 cos
2 a − 1) + ...
(2)
2. Le potentiel créé par une distribution de charges groupées autour de O a pour expression :
V M =
1
4p´ 0
i
q i
r Ai
(3)
où la sommation est étendue à l’ensemble des charges. Utilisant le développement (2) pour
chacune des charges, il vient :
V M =
1
4p´ 0
1
r
i
q i +
1
r 2
i
a i q i cos a i +
1
2r 3
i
a
2
i q i (3 cos
2 a i − 1) + ...
(4)
3. Le premier terme de (4) représente le potentiel créé par une charge unique
i
q i située à
l’origine O.
Soit u le vecteur unitaire porté par la droite OM. Le second terme de (4) s’écrit sous la forme :
1
4p´ 0
1
r 2
i
a i q i cos a i
=
1
4p´ 0 r 2
i
q i OA i
·u
(5)