Exercices
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Exercice 16.2. Oscillateur harmonique spatial
L’oscillateur harmonique à trois dimensions a pour énergie potentielle
U(r) = mv
2 r
2 /2.
1. Déterminer l’expression générale, en coordonnées sphériques, des fonctions d’onde de cet oscillateur harmonique.
2. Les niveaux d’énergie de l’oscillateur à trois dimensions sont donnés
par : E K = (K + 3/2) v. Les nombres quantiques n et l déterminent les
fonctions radiales de l’oscillateur et ils sont liés à K par :
K = 2(n − 1) + l
(1)
avec n = 1, 2, 3, ... Déterminer les valeurs possibles de l pour K = 0, 1, 2,
3, 4, 5.
3. Calculer la dégénérescence d’un niveau E K sachant qu’à une valeur de
n correspond une seule fonction radiale.
Solution.
1. L’oscillateur à trois dimensions étant un système à potentiel central U(r), le carré du
moment cinétique L
2 est une constante du mouvement. Celui-ci commute avec l’hamiltonien
H et, par conséquent, a des fonctions propres communes avec H. On peut donc obtenir les
fonctions d’onde sous la forme (7.2.5) :
c klm (r, u, w) = R kl (r)Y lm (u, w)
( 2 )
où les Y lm (u, w) sont les harmoniques sphériques. Les fonctions R kl (r) sont les solutions d’une
équation radiale donnée par (7.2.8) avec U(r) = mv
2 r
2 /2.
2. Les couches K se subdivisent en sous-couches définies par les nombres quantiques
k = 2(n − 1) et l, tels que : l = K − 2(n − 1), d’où les valeurs possibles de l pour K donné :
K = 0 : n = 1, l = 0(1s)
K = 1 : n = 1, l = 1(1p)
K = 2 : n = 1, l = 2(1d) ; n = 2, l = 0(2s)
K = 3 : n = 1, l = 3(1f ) ; n = 2, l = 1(2p)
K = 4 : n = 1, l = 4(1g) ; n = 2, l = 2(2d) ; n = 3, l = 0(3s)
K = 5 : n = 1, l = 5(1h) ; n = 2, l = 3(2 f ) ; n = 3, l = 1(3p)
3. Pour chaque couple n, l, il existe une seule fonction radiale et (2l + 1) fonctions Y lm (u, w).
Si K est pair, l ne prend que des valeurs paires, d’où le degré de dégénérescence :
g
K =
l=0, 2, ..., K
(2l + 1) =
K/2
p=0
(4p + 1) =
1
2
(K + 1)(K + 2)
(3)
Si K est impair, l prend des valeurs impaires, d’où :
g
K =
l=1, 3, ..., K
(2l + 1) =
(K−1)/2
p=0
(4p + 3) =
1
2
(K + 1)(K + 2)
(4)
Compte tenu du spin, le degré de dégénérescence de tous les niveaux K est donc :
g K = (K + 1)(K + 2)
(5)
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Exercice 16.2. Oscillateur harmonique spatial
L’oscillateur harmonique à trois dimensions a pour énergie potentielle
U(r) = mv
2 r
2 /2.
1. Déterminer l’expression générale, en coordonnées sphériques, des fonctions d’onde de cet oscillateur harmonique.
2. Les niveaux d’énergie de l’oscillateur à trois dimensions sont donnés
par : E K = (K + 3/2) v. Les nombres quantiques n et l déterminent les
fonctions radiales de l’oscillateur et ils sont liés à K par :
K = 2(n − 1) + l
(1)
avec n = 1, 2, 3, ... Déterminer les valeurs possibles de l pour K = 0, 1, 2,
3, 4, 5.
3. Calculer la dégénérescence d’un niveau E K sachant qu’à une valeur de
n correspond une seule fonction radiale.
Solution.
1. L’oscillateur à trois dimensions étant un système à potentiel central U(r), le carré du
moment cinétique L
2 est une constante du mouvement. Celui-ci commute avec l’hamiltonien
H et, par conséquent, a des fonctions propres communes avec H. On peut donc obtenir les
fonctions d’onde sous la forme (7.2.5) :
c klm (r, u, w) = R kl (r)Y lm (u, w)
( 2 )
où les Y lm (u, w) sont les harmoniques sphériques. Les fonctions R kl (r) sont les solutions d’une
équation radiale donnée par (7.2.8) avec U(r) = mv
2 r
2 /2.
2. Les couches K se subdivisent en sous-couches définies par les nombres quantiques
k = 2(n − 1) et l, tels que : l = K − 2(n − 1), d’où les valeurs possibles de l pour K donné :
K = 0 : n = 1, l = 0(1s)
K = 1 : n = 1, l = 1(1p)
K = 2 : n = 1, l = 2(1d) ; n = 2, l = 0(2s)
K = 3 : n = 1, l = 3(1f ) ; n = 2, l = 1(2p)
K = 4 : n = 1, l = 4(1g) ; n = 2, l = 2(2d) ; n = 3, l = 0(3s)
K = 5 : n = 1, l = 5(1h) ; n = 2, l = 3(2 f ) ; n = 3, l = 1(3p)
3. Pour chaque couple n, l, il existe une seule fonction radiale et (2l + 1) fonctions Y lm (u, w).
Si K est pair, l ne prend que des valeurs paires, d’où le degré de dégénérescence :
g
K =
l=0, 2, ..., K
(2l + 1) =
K/2
p=0
(4p + 1) =
1
2
(K + 1)(K + 2)
(3)
Si K est impair, l prend des valeurs impaires, d’où :
g
K =
l=1, 3, ..., K
(2l + 1) =
(K−1)/2
p=0
(4p + 3) =
1
2
(K + 1)(K + 2)
(4)
Compte tenu du spin, le degré de dégénérescence de tous les niveaux K est donc :
g K = (K + 1)(K + 2)
(5)