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16 • Noyau atomique et structure hyperfine des niveaux électroniques
L’hamiltonien W h est donné par la somme : W h = W hL + W
(e)
hD + W
(i)
hD , soit :
W h =
m 0 m B m N g p
2p 2
I·L
R 3 +
3(I·R) (S·R)
R 5
−
I·S
R 3 +
8p
3
(I·S) d(R)
(16.3.19)
Les diverses contributions qui apparaissent dans (16.3.19) peuvent être regroupées et
l’hamiltonien W h peut alors être mis sous la forme :
W h = A I·J
(16.3.20)
où A est la constante de structure hyperfine, celle-ci n’ayant pas la même valeur
selon les niveaux considérés. C’est ce que nous allons voir pour le niveau 1s de
l’atome d’hydrogène.
16.3.3 Structure hyperfine du niveau 1s de l’atome d’hydrogène
a) Structure fine du niveau 1s
La décomposition de structure fine de Clebsch-Gordan se réduit à un seul niveau
1s 1/2 qui est doublement dégénéré. Autrement dit, la perturbation de structure fine,
W F = W V + W SO + W D , donnée par (11.2.2), ne lève pas la dégénérescence du niveau
1s. Un calcul direct de cette perturbation montre qu’il en est bien ainsi : W F déplace
en bloc le niveau 1s d’une quantité égale à −m e c
2 a
4 /8, sans qu’il y ait dédoublement
du niveau.
Le niveau 1s de l’atome d’hydrogène a une dégénérescence d’ordre quatre
correspondant aux valeurs m s = ±1/2 et m I = ±1/2. Les vecteurs d’état
|n = 1, l = 0, m l = 0, m s , m I peuvent servir de base pour les vecteurs propres
associés au niveau 1s. Calculons à présent l’énergie de perturbation apportée par
l’hamiltonien hyperfin W h .
b) Hamiltonien hyperfin
Les termes qui figurent dans W h autres que le terme de contact vont apporter
une contribution nulle à l’énergie de séparation hyperfine. En effet, le terme où
figure l’opérateur I·L conduit à des éléments matriciels diagonaux de la forme
l = 0, m l = 0|L|l = 0, m l = 0 qui sont évidemment nuls puisque l = 0.
Les deux termes suivants qui figurent dans (16.3.19) sont ceux d’interaction de
deux dipôles magnétiques ; les éléments matriciels de ces opérateurs sont nuls par
suite de la symétrie sphérique de l’état 1s.
c) Terme de contact
C’est finalement le terme de contact qui va seul engendrer la structure hyperfine du
niveau 1s. Les éléments matriciels de ce terme sont de la forme :
1, 0, 0, m s , m I |
4m 0 m B m N g p
3 2
I·Sd(R)|1, 0, 0, m
s , m
I
(16.3.21)
16 • Noyau atomique et structure hyperfine des niveaux électroniques
L’hamiltonien W h est donné par la somme : W h = W hL + W
(e)
hD + W
(i)
hD , soit :
W h =
m 0 m B m N g p
2p 2
I·L
R 3 +
3(I·R) (S·R)
R 5
−
I·S
R 3 +
8p
3
(I·S) d(R)
(16.3.19)
Les diverses contributions qui apparaissent dans (16.3.19) peuvent être regroupées et
l’hamiltonien W h peut alors être mis sous la forme :
W h = A I·J
(16.3.20)
où A est la constante de structure hyperfine, celle-ci n’ayant pas la même valeur
selon les niveaux considérés. C’est ce que nous allons voir pour le niveau 1s de
l’atome d’hydrogène.
16.3.3 Structure hyperfine du niveau 1s de l’atome d’hydrogène
a) Structure fine du niveau 1s
La décomposition de structure fine de Clebsch-Gordan se réduit à un seul niveau
1s 1/2 qui est doublement dégénéré. Autrement dit, la perturbation de structure fine,
W F = W V + W SO + W D , donnée par (11.2.2), ne lève pas la dégénérescence du niveau
1s. Un calcul direct de cette perturbation montre qu’il en est bien ainsi : W F déplace
en bloc le niveau 1s d’une quantité égale à −m e c
2 a
4 /8, sans qu’il y ait dédoublement
du niveau.
Le niveau 1s de l’atome d’hydrogène a une dégénérescence d’ordre quatre
correspondant aux valeurs m s = ±1/2 et m I = ±1/2. Les vecteurs d’état
|n = 1, l = 0, m l = 0, m s , m I peuvent servir de base pour les vecteurs propres
associés au niveau 1s. Calculons à présent l’énergie de perturbation apportée par
l’hamiltonien hyperfin W h .
b) Hamiltonien hyperfin
Les termes qui figurent dans W h autres que le terme de contact vont apporter
une contribution nulle à l’énergie de séparation hyperfine. En effet, le terme où
figure l’opérateur I·L conduit à des éléments matriciels diagonaux de la forme
l = 0, m l = 0|L|l = 0, m l = 0 qui sont évidemment nuls puisque l = 0.
Les deux termes suivants qui figurent dans (16.3.19) sont ceux d’interaction de
deux dipôles magnétiques ; les éléments matriciels de ces opérateurs sont nuls par
suite de la symétrie sphérique de l’état 1s.
c) Terme de contact
C’est finalement le terme de contact qui va seul engendrer la structure hyperfine du
niveau 1s. Les éléments matriciels de ce terme sont de la forme :
1, 0, 0, m s , m I |
4m 0 m B m N g p
3 2
I·Sd(R)|1, 0, 0, m
s , m
I
(16.3.21)