16.3 Structure hyperfine des niveaux atomiques
391
La fonction d’onde c 1,0,0 (r, u, w) a été calculée au chapitre 7 et a pour expression :
c 1,0,0 (r, u, w) = R 1,0 (r)Y 0,0 = (pa
3
0 )
−1/2 e
−r/a0
En introduisant à nouveau les expressions de m B = e 0 /2m e et m N = e 0 /2m p , on
obtient pour valeur de la constante de structure hyperfine :
A =
4m 0 m B m N g p
3 2
1, 0, 0|d(R)|1, 0, 0 =
1
4p
e
2
0 g p m 0
3m e m p
|R 1,0 (0)|
2 =
4g p (m e c)
2 a
4
3 2 m p
(16.3.23)
Le terme de contact est ainsi ramené à celui d’un opérateur de perturbation de la
forme A I·S, cas particulier de l’opérateur (16.3.3), le moment orbital L étant nul
pour l’état 1s.
d) Séparation hyperfine
La base {|S = 1/2, I = 1/2, F, m F } formée par les états propres communs à
S
2 , I
2 , F
2 , F z est plus adaptée que celle utilisée précédemment. Comme F = S + I, F
ne peut prendre que les deux valeurs S + I = 1 et |S − I| = 0. On peut aisément passer d’une base à l’autre en utilisant les coefficients de Clebsch-Gordan (6.5.18). La
formule (16.3.5) donne alors pour l’énergie de perturbation hyperfine, en remplaçant
J par S :
E
(1)
F =
A
2
2
[F(F + 1) − I(I + 1) − S(S + 1)]
(16.3.24)
(1/4) A h 2
(–3/4)A h 2
1s 1/2
F = 1
F = 0
Figure 16.1
Avec S = I = 1/2, on obtient deux valeurs pour
l’énergie de perturbation :
F = 1 : E
(1)
1 =
A
2
4
;
F = 0 : E
(1)
0 = −
3A
2
4
(16.3.25)
Le niveau hyperfin F = 1 est dégénéré trois fois, m F
prenant les valeurs −1, 0, 1 et le niveau F = 0 est non
dégénéré. La dégénérescence d’ordre quatre du niveau
1s est donc seulement partiellement levée par la perturbation W h . La séparation hyperfine, schématisée sur la figure 16.1, est égale à :
DE
(1)
1s = E
(1)
1 − E
(1)
0 = A
2
5,88 meV
(16.3.26)
e) Transition hyperfine
La radiation émise par l’atome d’hydrogène en passant du niveau hyperfin F = 1 au
niveau F = 0 de l’état fondamental correspond à une longueur d’onde de 21 cm. Les
nuages interstellaires sont détectés en radioastronomie par l’étude de cette radiation.
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La fonction d’onde c 1,0,0 (r, u, w) a été calculée au chapitre 7 et a pour expression :
c 1,0,0 (r, u, w) = R 1,0 (r)Y 0,0 = (pa
3
0 )
−1/2 e
−r/a0
En introduisant à nouveau les expressions de m B = e 0 /2m e et m N = e 0 /2m p , on
obtient pour valeur de la constante de structure hyperfine :
A =
4m 0 m B m N g p
3 2
1, 0, 0|d(R)|1, 0, 0 =
1
4p
e
2
0 g p m 0
3m e m p
|R 1,0 (0)|
2 =
4g p (m e c)
2 a
4
3 2 m p
(16.3.23)
Le terme de contact est ainsi ramené à celui d’un opérateur de perturbation de la
forme A I·S, cas particulier de l’opérateur (16.3.3), le moment orbital L étant nul
pour l’état 1s.
d) Séparation hyperfine
La base {|S = 1/2, I = 1/2, F, m F } formée par les états propres communs à
S
2 , I
2 , F
2 , F z est plus adaptée que celle utilisée précédemment. Comme F = S + I, F
ne peut prendre que les deux valeurs S + I = 1 et |S − I| = 0. On peut aisément passer d’une base à l’autre en utilisant les coefficients de Clebsch-Gordan (6.5.18). La
formule (16.3.5) donne alors pour l’énergie de perturbation hyperfine, en remplaçant
J par S :
E
(1)
F =
A
2
2
[F(F + 1) − I(I + 1) − S(S + 1)]
(16.3.24)
(1/4) A h 2
(–3/4)A h 2
1s 1/2
F = 1
F = 0
Figure 16.1
Avec S = I = 1/2, on obtient deux valeurs pour
l’énergie de perturbation :
F = 1 : E
(1)
1 =
A
2
4
;
F = 0 : E
(1)
0 = −
3A
2
4
(16.3.25)
Le niveau hyperfin F = 1 est dégénéré trois fois, m F
prenant les valeurs −1, 0, 1 et le niveau F = 0 est non
dégénéré. La dégénérescence d’ordre quatre du niveau
1s est donc seulement partiellement levée par la perturbation W h . La séparation hyperfine, schématisée sur la figure 16.1, est égale à :
DE
(1)
1s = E
(1)
1 − E
(1)
0 = A
2
5,88 meV
(16.3.26)
e) Transition hyperfine
La radiation émise par l’atome d’hydrogène en passant du niveau hyperfin F = 1 au
niveau F = 0 de l’état fondamental correspond à une longueur d’onde de 21 cm. Les
nuages interstellaires sont détectés en radioastronomie par l’étude de cette radiation.