16.3 Structure hyperfine des niveaux atomiques
389
Reportant (16.3.12) dans le terme W hD et compte tenu du fait que M I est par hypothèse dirigé selon l’axe Oz, on obtient à l’extérieur (e) du proton :
W
(e)
hD = −
m 0 m B
2p
S·M I
R 3 −
3(S·R) (M I ·R)
R 5
(16.3.13)
On retrouve une expression classique en électromagnétisme relative à l’énergie d’interaction de deux dipôles magnétiques, dans le cas présent M I et M S = −(2m B / )S.
• À l’intérieur du proton, de rayon r, nous supposerons que le champ magnétique B i
est uniforme ; par raison de symétrie, B i est nécessairement colinéaire à M I et dans
le cas présent à Oz. Un calcul classique d’électromagnétisme montre qu’on a :
B i =
m 0 M I
2pr 3
(16.3.14)
Reportant l’expression de B i dans W hD , on obtient à l’intérieur (i) du proton :
W
(i)
hD =
m 0 m B
p r 3 S·M I =
m 0 m B
p r 3 S z M I
(16.3.15)
L’opérateur W
(i)
hD est appelé terme de contact. Calculons ses éléments matriciels en
réalisation-|nlm l m s . L’intégration en r qui figure dans ce calcul s’effectue sur le
volume du proton, pour r < r. Lorsque r tend vers zéro, le volume d’intégration sur
r, égal à 4pr
3 /3, tend vers zéro et les éléments matriciels deviennent :
n l m l m s |W
(i)
hD |n
l
m
l m
s =
4m 0 m B
3
M I m s |S z |m
s × c
∗
nlml (r = 0) c n l m
l
(r = 0)
(16.3.16)
Les fonctions d’onde c nlml de l’atome d’hydrogène sont en général nulles pour r = 0
sauf si l = 0. Le terme de contact sera donc seulement différent de zéro pour les états
s. L’expression (16.3.16) des éléments matriciels permet de considérer l’opérateur
W
(i)
hD sous la forme simplifiée :
W
(i)
hD =
4m 0 m B
3
S·M I d(R)
(16.3.17)
Le terme de contact représente l’interaction entre le moment magnétique de spin de
l’électron et le champ B i régnant à l’intérieur du proton mais il n’intervient que pour
les états s.
d) Hamiltonien hyperfin magnétique
Utilisons la relation entre le moment magnétique M I et le moment cinétique I du
proton, donné par (16.1.12). Notons g p = g I le facteur de Landé du proton ; il vient :
M I =
g p m N
I
(16.3.18)
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Reportant (16.3.12) dans le terme W hD et compte tenu du fait que M I est par hypothèse dirigé selon l’axe Oz, on obtient à l’extérieur (e) du proton :
W
(e)
hD = −
m 0 m B
2p
S·M I
R 3 −
3(S·R) (M I ·R)
R 5
(16.3.13)
On retrouve une expression classique en électromagnétisme relative à l’énergie d’interaction de deux dipôles magnétiques, dans le cas présent M I et M S = −(2m B / )S.
• À l’intérieur du proton, de rayon r, nous supposerons que le champ magnétique B i
est uniforme ; par raison de symétrie, B i est nécessairement colinéaire à M I et dans
le cas présent à Oz. Un calcul classique d’électromagnétisme montre qu’on a :
B i =
m 0 M I
2pr 3
(16.3.14)
Reportant l’expression de B i dans W hD , on obtient à l’intérieur (i) du proton :
W
(i)
hD =
m 0 m B
p r 3 S·M I =
m 0 m B
p r 3 S z M I
(16.3.15)
L’opérateur W
(i)
hD est appelé terme de contact. Calculons ses éléments matriciels en
réalisation-|nlm l m s . L’intégration en r qui figure dans ce calcul s’effectue sur le
volume du proton, pour r < r. Lorsque r tend vers zéro, le volume d’intégration sur
r, égal à 4pr
3 /3, tend vers zéro et les éléments matriciels deviennent :
n l m l m s |W
(i)
hD |n
l
m
l m
s =
4m 0 m B
3
M I m s |S z |m
s × c
∗
nlml (r = 0) c n l m
l
(r = 0)
(16.3.16)
Les fonctions d’onde c nlml de l’atome d’hydrogène sont en général nulles pour r = 0
sauf si l = 0. Le terme de contact sera donc seulement différent de zéro pour les états
s. L’expression (16.3.16) des éléments matriciels permet de considérer l’opérateur
W
(i)
hD sous la forme simplifiée :
W
(i)
hD =
4m 0 m B
3
S·M I d(R)
(16.3.17)
Le terme de contact représente l’interaction entre le moment magnétique de spin de
l’électron et le champ B i régnant à l’intérieur du proton mais il n’intervient que pour
les états s.
d) Hamiltonien hyperfin magnétique
Utilisons la relation entre le moment magnétique M I et le moment cinétique I du
proton, donné par (16.1.12). Notons g p = g I le facteur de Landé du proton ; il vient :
M I =
g p m N
I
(16.3.18)