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16 • Noyau atomique et structure hyperfine des niveaux électroniques
proton s’écrit :
H h =
1
2m e
[P + e 0 A I (R)]
2
− e 0 V I (R) +
2m B
S·∇ × A I (R)
(16.3.8)
où P et S sont respectivement l’impulsion et le spin de l’électron ; m B est le magnéton
de Bohr. L’hamiltonien H h est l’équivalent d’un hamiltonien de Pauli mais pour un
potentiel vecteur créé par le proton.
Le terme e 0 V I (R) dû au potentiel électrostatique comporte d’une part l’énergie
d’interaction de la charge du proton avec celle de l’électron, mais cette contribution
à l’hamiltonien total de l’atome d’hydrogène est déjà prise en compte dans l’hamiltonien « non perturbé » de structure fine et ne doit donc pas être retenue à nouveau. D’autre part, les moments multipolaires électriques du proton sont tous nuls et
n’apportent pas de contribution à e 0 V I (R). Finalement, le terme d’interaction avec le
potentiel scalaire n’a pas besoin d’être pris en compte dans H h .
Dans le développement de [P + e 0 A I (R)]
2 , les termes en A
2
I peuvent être négligés par suite de leur petitesse. Conservant alors seulement les termes linéaires dans
(16.3.8), l’hamiltonien H h se réduit à :
W h =
e 0
2m e
[P·A I (R) + A I (R)·P] +
2m B
S·∇ × A I (R) = W hL + W hD
(16.3.9)
b) Couplage de M I avec le moment orbital de l’électron
Le moment magnétique M I du proton crée un potentiel vecteur donné par :
A I =
m 0
4p
M I × r
r 3
(16.3.10)
M I est en fait le moment dipolaire magnétique du proton car ce dernier n’a pas de
moment multipolaire d’ordre supérieur. Notons L = R × P le moment cinétique
orbital de l’électron. Le terme W hL s’écrit alors :
W hL =
m 0 m B
2p R 3 M I ·L
(16.3.11)
Ce terme correspond à l’énergie de couplage entre le moment magnétique M I et le
champ magnétique créé par le mouvement de rotation de l’électron.
c) Couplage de M I avec le spin de l’électron
Le second terme W hD de (16.3.9) représente l’énergie de couplage entre le spin de
l’électron et le champ magnétique créé par le proton ; ce dernier est de rayon r et de
moment dipolaire magnétique M I que nous plaçons parallèle à l’axe Oz.
• À l’extérieur du proton et à une distance r r, les composantes du champ
magnétique B = ∇ × A I créé par le proton s’obtiennent en utilisant (16.3.10) :
B x =
3m 0
4p
M I
xz
r 5 ; B y =
3m 0
4p
M I
yz
r 5 ; B z =
m 0
4p
M I
3z
2
− r
2
r 5
(16.3.12)
16 • Noyau atomique et structure hyperfine des niveaux électroniques
proton s’écrit :
H h =
1
2m e
[P + e 0 A I (R)]
2
− e 0 V I (R) +
2m B
S·∇ × A I (R)
(16.3.8)
où P et S sont respectivement l’impulsion et le spin de l’électron ; m B est le magnéton
de Bohr. L’hamiltonien H h est l’équivalent d’un hamiltonien de Pauli mais pour un
potentiel vecteur créé par le proton.
Le terme e 0 V I (R) dû au potentiel électrostatique comporte d’une part l’énergie
d’interaction de la charge du proton avec celle de l’électron, mais cette contribution
à l’hamiltonien total de l’atome d’hydrogène est déjà prise en compte dans l’hamiltonien « non perturbé » de structure fine et ne doit donc pas être retenue à nouveau. D’autre part, les moments multipolaires électriques du proton sont tous nuls et
n’apportent pas de contribution à e 0 V I (R). Finalement, le terme d’interaction avec le
potentiel scalaire n’a pas besoin d’être pris en compte dans H h .
Dans le développement de [P + e 0 A I (R)]
2 , les termes en A
2
I peuvent être négligés par suite de leur petitesse. Conservant alors seulement les termes linéaires dans
(16.3.8), l’hamiltonien H h se réduit à :
W h =
e 0
2m e
[P·A I (R) + A I (R)·P] +
2m B
S·∇ × A I (R) = W hL + W hD
(16.3.9)
b) Couplage de M I avec le moment orbital de l’électron
Le moment magnétique M I du proton crée un potentiel vecteur donné par :
A I =
m 0
4p
M I × r
r 3
(16.3.10)
M I est en fait le moment dipolaire magnétique du proton car ce dernier n’a pas de
moment multipolaire d’ordre supérieur. Notons L = R × P le moment cinétique
orbital de l’électron. Le terme W hL s’écrit alors :
W hL =
m 0 m B
2p R 3 M I ·L
(16.3.11)
Ce terme correspond à l’énergie de couplage entre le moment magnétique M I et le
champ magnétique créé par le mouvement de rotation de l’électron.
c) Couplage de M I avec le spin de l’électron
Le second terme W hD de (16.3.9) représente l’énergie de couplage entre le spin de
l’électron et le champ magnétique créé par le proton ; ce dernier est de rayon r et de
moment dipolaire magnétique M I que nous plaçons parallèle à l’axe Oz.
• À l’extérieur du proton et à une distance r r, les composantes du champ
magnétique B = ∇ × A I créé par le proton s’obtiennent en utilisant (16.3.10) :
B x =
3m 0
4p
M I
xz
r 5 ; B y =
3m 0
4p
M I
yz
r 5 ; B z =
m 0
4p
M I
3z
2
− r
2
r 5
(16.3.12)