16.2 Modèle en couches
383
D’autre part, la résolution de (16.2.5), en coordonnées sphériques, permet de séparer
les variables angulaires et radiale. La résolution de l’équation radiale fait apparaître
les nombres quantiques radial impair, n r = 1, 3, 5, ..., et azimutal, l = 0, 1, 2, ... ; il
vient :
E n,l =
n r + l +
1
2
v =
2n − 1 + l +
1
2
v
(16.2.6b)
où n définit le nombre quantique principal, n = 1, 2, 3, ... Les niveaux d’énergie ne
devant évidemment pas dépendre du système de coordonnées qui a servi à résoudre
l’équation de Schrödinger, on en déduit :
K = 2(n − 1) + l
(16.2.7)
Pour K fixé, on a (K + 1)(K + 2)/2 états propres possibles et, compte tenu de la
dégénérescence de spin, la dégénérescence d K d’un niveau E K est égale à :
d K = (K + 1)(K + 2)
(16.2.8)
Cette dégénérescence nous donne le nombre maximal de protons (ou de neutrons)
que comportera chaque couche caractérisée par une valeur K. On a ainsi :
K :
0 1 2 3 4 ...
d K :
2 6 12 20 30 ...
K
d K : 2 8 20 40 70 ...
(16.2.9)
On obtient bien les trois premiers nombres magiques, 2, 8, 20, mais le potentiel harmonique ne fournit pas les suivants. Il en est de même pour les corrections qu’apporte
le potentiel de Saxon-Woods.
b) Interaction spin-orbite
Dans le cas des électrons d’un atome, le potentiel spin-orbite n’intervient que comme
effet relativiste dans la structure fine alors que pour le noyau cette interaction est
beaucoup plus importante. Cela signifie que la vitesse relative des noyaux joue un
rôle de premier ordre dans le potentiel moyen. Le potentiel spin-orbite peut s’écrire
sous la forme :
V 2 = −f L·S = −( f /2)(J
2
− L
2
− S
2 )
(16.2.10)
avec J = L + S. Les états propres |nlsjm j forment une base commune à J
2 , L
2 , S
2 , J z
et la matrice du potentiel V 2 est diagonale dans cette base puisque f est une constante.
Les éléments matriciels diagonaux sont, en tenant compte de (16.2.10) :
l s j m j | V 2 |l s j m j =
−
2 f
2
[ j( j + 1) − l(l + 1) −
3
4
]
(16.2.11)
Pour j = l ± (1/2), les éléments matriciels diagonaux donnent les énergies de perturbation E
(1)
nlj soit :
E
(1)
nl,l+1/2
=
−
2 f
2
l ; E
(1)
nl,l−1/2
=
2 f
2
(l + 1)
(16.2.12)
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D’autre part, la résolution de (16.2.5), en coordonnées sphériques, permet de séparer
les variables angulaires et radiale. La résolution de l’équation radiale fait apparaître
les nombres quantiques radial impair, n r = 1, 3, 5, ..., et azimutal, l = 0, 1, 2, ... ; il
vient :
E n,l =
n r + l +
1
2
v =
2n − 1 + l +
1
2
v
(16.2.6b)
où n définit le nombre quantique principal, n = 1, 2, 3, ... Les niveaux d’énergie ne
devant évidemment pas dépendre du système de coordonnées qui a servi à résoudre
l’équation de Schrödinger, on en déduit :
K = 2(n − 1) + l
(16.2.7)
Pour K fixé, on a (K + 1)(K + 2)/2 états propres possibles et, compte tenu de la
dégénérescence de spin, la dégénérescence d K d’un niveau E K est égale à :
d K = (K + 1)(K + 2)
(16.2.8)
Cette dégénérescence nous donne le nombre maximal de protons (ou de neutrons)
que comportera chaque couche caractérisée par une valeur K. On a ainsi :
K :
0 1 2 3 4 ...
d K :
2 6 12 20 30 ...
K
d K : 2 8 20 40 70 ...
(16.2.9)
On obtient bien les trois premiers nombres magiques, 2, 8, 20, mais le potentiel harmonique ne fournit pas les suivants. Il en est de même pour les corrections qu’apporte
le potentiel de Saxon-Woods.
b) Interaction spin-orbite
Dans le cas des électrons d’un atome, le potentiel spin-orbite n’intervient que comme
effet relativiste dans la structure fine alors que pour le noyau cette interaction est
beaucoup plus importante. Cela signifie que la vitesse relative des noyaux joue un
rôle de premier ordre dans le potentiel moyen. Le potentiel spin-orbite peut s’écrire
sous la forme :
V 2 = −f L·S = −( f /2)(J
2
− L
2
− S
2 )
(16.2.10)
avec J = L + S. Les états propres |nlsjm j forment une base commune à J
2 , L
2 , S
2 , J z
et la matrice du potentiel V 2 est diagonale dans cette base puisque f est une constante.
Les éléments matriciels diagonaux sont, en tenant compte de (16.2.10) :
l s j m j | V 2 |l s j m j =
−
2 f
2
[ j( j + 1) − l(l + 1) −
3
4
]
(16.2.11)
Pour j = l ± (1/2), les éléments matriciels diagonaux donnent les énergies de perturbation E
(1)
nlj soit :
E
(1)
nl,l+1/2
=
−
2 f
2
l ; E
(1)
nl,l−1/2
=
2 f
2
(l + 1)
(16.2.12)