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16 • Noyau atomique et structure hyperfine des niveaux électroniques
Schrödinger :
P
2
i
2m
+ V(r i )
|c i = E i |c i
(16.2.1)
où m est la masse réduite qui, pour des éléments assez lourds, est peu différente de
la masse m d’un nucléon puisqu’on a, pour un nucléon donné et les (A − 1) autres
nucléons :
m =
m(A − 1)m
m + (A − 1)m
(16.2.2)
➤ Potentiel nucléaire moyen
Du fait de l’interaction forte entre nucléons, chacun d’eux reste confiné à l’intérieur du noyau et le potentiel moyen doit exprimer cet impératif. Si on ne cherche
à faire apparaître que la série magique, on peut simuler le potentiel moyen par une
expression simplifiée :
V(r) =
1
2
mv
2 r
2
− f L·S = V 1 + V 2
(16.2.3)
Le premier terme V 1 est un puits de potentiel harmonique qui n’est qu’une approximation du potentiel de Saxon-Woods, de profondeur finie :
V 1 (r) =
−V 0
1 + exp[ (r − r 0 )/a ]
(16.2.4)
où les paramètres V 0 , r 0 et a doivent être ajustés pour reproduire au mieux les faits
expérimentaux. Le second terme V 2 a été introduit indépendamment, en 1949, par
M. Goeppert-Mayer et J. Jensen et ses collaborateurs ; les opérateurs L et S sont
respectivement les moments cinétiques orbital et de spin d’un nucléon ; f est une
constante et représente une énergie d’interaction spin-orbite qui est ajustée pour reconstituer l’ensemble des nombres magiques.
16.2.2 Aproximation harmonique avec couplage spin-orbite
a) Oscillateur harmonique
Résolvons l’équation de Schrödinger (16.2.1) en considérant seulement le potentiel
harmonique V 1 (r), le second terme V 2 (r) étant traité ensuite comme une perturbation.
L’oscillateur harmonique à trois dimensions a pour équation de Schrödinger :
P
2
2m
+
m
2
v
2 r
2
|c = E |c
(16.2.5)
La résolution de cette équation en réalisation- |r se ramène, en coordonnées cartésiennes, à celle de trois équations d’un oscillateur harmonique à une dimension et les
valeurs propres sont :
E K = (n x + n y + n z +
3
2
) v = (K +
3
2
) v
(16.2.6a)
16 • Noyau atomique et structure hyperfine des niveaux électroniques
Schrödinger :
P
2
i
2m
+ V(r i )
|c i = E i |c i
(16.2.1)
où m est la masse réduite qui, pour des éléments assez lourds, est peu différente de
la masse m d’un nucléon puisqu’on a, pour un nucléon donné et les (A − 1) autres
nucléons :
m =
m(A − 1)m
m + (A − 1)m
(16.2.2)
➤ Potentiel nucléaire moyen
Du fait de l’interaction forte entre nucléons, chacun d’eux reste confiné à l’intérieur du noyau et le potentiel moyen doit exprimer cet impératif. Si on ne cherche
à faire apparaître que la série magique, on peut simuler le potentiel moyen par une
expression simplifiée :
V(r) =
1
2
mv
2 r
2
− f L·S = V 1 + V 2
(16.2.3)
Le premier terme V 1 est un puits de potentiel harmonique qui n’est qu’une approximation du potentiel de Saxon-Woods, de profondeur finie :
V 1 (r) =
−V 0
1 + exp[ (r − r 0 )/a ]
(16.2.4)
où les paramètres V 0 , r 0 et a doivent être ajustés pour reproduire au mieux les faits
expérimentaux. Le second terme V 2 a été introduit indépendamment, en 1949, par
M. Goeppert-Mayer et J. Jensen et ses collaborateurs ; les opérateurs L et S sont
respectivement les moments cinétiques orbital et de spin d’un nucléon ; f est une
constante et représente une énergie d’interaction spin-orbite qui est ajustée pour reconstituer l’ensemble des nombres magiques.
16.2.2 Aproximation harmonique avec couplage spin-orbite
a) Oscillateur harmonique
Résolvons l’équation de Schrödinger (16.2.1) en considérant seulement le potentiel
harmonique V 1 (r), le second terme V 2 (r) étant traité ensuite comme une perturbation.
L’oscillateur harmonique à trois dimensions a pour équation de Schrödinger :
P
2
2m
+
m
2
v
2 r
2
|c = E |c
(16.2.5)
La résolution de cette équation en réalisation- |r se ramène, en coordonnées cartésiennes, à celle de trois équations d’un oscillateur harmonique à une dimension et les
valeurs propres sont :
E K = (n x + n y + n z +
3
2
) v = (K +
3
2
) v
(16.2.6a)