Exercices
375
Les valeurs propres et vecteurs propres de H sont les suivants :
E + = E 0 +
√
A 2 + a 2 ; |c + =
cos u
− sin u
(24)
E − = E 0 −
√
A 2 + a 2 ; |c − =
sin u
cos u
(25)
avec :
tan u =
a
A +
√
A 2 + a 2
(26)
3. Le développement au second ordre des énergies E + et E − en fonction de a/A, nous donne :
E + E 0 + A +
m
2 E
2
2A
; E − E 0 − A −
m
2 E
2
2A
(27)
En champ faible, a tend vers zéro et u devient égal à 0 ou p. Les états de la molécule
deviennent alors :
|c + ∝
1
0
; |c − ∝
0
1
(28)
On obtient les vecteurs de base, |w A et |w S , de l’espace vectoriel E 2 . On voit que |c + est
peu différent de |w A et |c − , peu différent de |w S .
C.1. L’énergie d’interaction entre le champ électrique E 0 et les molécules est égale à :
W 0 = −mE 0 cos v 0 t, d’où l’hamiltonien :
H =
E 0 + A
−h cos v 0 t
−h cos v 0 t
E 0 − A
(29)
avec h = mE 0 .
2. L’équation de Schrödinger dépendant du temps est :
i
∂
∂t
c(t) = Hc(t) avec c(t) =
a(t)
b(t)
(30)
Cette équation se ramène au système différentiel couplé :
i ˙
a = (E 0 + A)a − hb cos v 0 t
(31)
i ˙
b = −ha cos v 0 t + (E 0 − A)b
(32)
3. Effectuons les changements de fonction suivants :
a(t) = exp[i(E 0 + A)t/ ]a ; b(t) = exp[i(E 0 − A)t/ ]b
(33)
et négligeons les termes indiqués dans l’énoncé. On obtient le système différentiel suivant :
˙
a = (iv 1 /2)b(t) exp[−i(v 0 − v)t]
(34)
˙
b = (iv 1 /2)a(t) exp[i(v 0 − v)t]
(35)