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15 • Transition sous l’action d’une perturbation
2. L’équation de Schrödinger dépendant du temps s’écrit pour chacune des composantes :
i
∂
∂t
w(x, t) = Ew(x, t)
(14)
avec E = E 0 ± A, d’où les fonctions d’onde stationnaires dépendant du temps :
w A (x, t) = exp(−iE 0 t/ ) exp(−ivt/2)w A (x)
(15)
w S (x, t) = exp(−iE 0 t/ ) exp(ivt/2)w S (x)
(16)
Selon la notation adoptée, figurant dans (3), le vecteur |c(t) s’écrit sous la forme :
|c(t) = exp(−iE 0 t/ )
l e
−ivt/2
m e
ivt/2
(17)
3. Les vecteurs |c B et |c H s’écrivent :
|c B =
1
√
2
−1
1
; |c H =
1
√
2
1
1
(18)
La matrice X cherchée ayant pour valeurs propres −1 et +1 et pour vecteurs propres respectifs
|c B et |c H on a :
a b
c d
−1
1
= −
−1
1
;
a b
c d
1
1
=
1
1
(19)
d’où : a = d = 0 ; b = c = 1. On obtient ainsi la matrice cherchée :
X =
0 1
1 0
(20)
Les valeurs propres de l’observable X permettent de déterminer la position de la molécule
par rapport à l’origine, cette dernière étant située au centre de l’atome d’azote. Si le résultat
d’une mesure des valeurs propres de X est −1, la molécule est dans l’état |c B et les atomes
d’hydrogène sont situés dans la région x 0 ; si la mesure est +1, la molécule est dans l’état
|c H et les atomes d’hydrogène sont dans la région x 0.
B.1. L’énergie potentielle d’interaction entre la molécule et le champ électrique est donnée
par :
W = −m·
− →
E
(21)
Le champ étant parallèle au moment dipolaire, on a : W = −mE . La matrice M associée
au moment dipolaire est donnée par la formule (5), d’où la matrice de l’énergie potentielle
d’interaction :
W = −E M =
0
−mE
−mE
0
(22)
2. L’hamiltonien total H est la somme des hamiltoniens (13) et (22). Posons a = mE ; il
vient :
H =
E 0 + A
−a
−a
E 0 − A
(23)