Exercices
373
Le principe du maser va consister à obliger les molécules qui sont dans
l’état supérieur |w A à restituer leur énergie 2A en retombant dans l’état
voisin inférieur |w S .
1. Pour cela, on soumet le faisceau de molécules dans l’état |w A à un
champ électrique oscillant
− →
E 0 de pulsation v 0 , dans une cavité haute fréquence (figure 15.3) :
−
→
E 0 = E 0 cos v 0 t u
(7)
Les molécules ont leur moment dipolaire parallèle à
− →
E 0 . Écrire l’hamiltonien dépendant du temps pour les molécules soumises au champ
− →
E 0 .
2. L’état d’une molécule en fonction du temps est de la forme :
|c(t) = a(t)|w A + b(t)|w S
(8)
Déterminer le système différentiel linéaire couplé du premier ordre que
vérifient a(t) et b(t).
3. On pose : v = 2A, v 1 = mE 0 / . On effectue le changement de
fonctions :
a(t) = exp[i(E 0 + A)t/ ]a ; b(t) = exp[i(E 0 − A)t/ ]b
(9)
En négligeant dans le système différentiel les termes en exp[−i(v 0 + v)t]
et exp[i(v 0 + v)t], déterminer les solutions a(t) et b(t).
4. La probabilité pour une molécule de se trouver dans l’état w S est égale à
|b(t)|
2 . La probabilité de transition, notée P A→S (t), pour qu’après un temps
t, les molécules dans l’état w A soient passées dans l’état w S , est donnée par :
P A→S (t) = |b(t)|
2
|b(t)|
2
(10)
où b(t) est la solution approximée. Calculer P A→S (t) et montrer que cette
quantité passe par un maximum pour une valeur de v 0 qu’on déterminera.
5. Soit v la vitesse des molécules d’ammoniac. Déterminer la longueur L
de la cavité à haute fréquence dans laquelle s’effectue cette transition de
sorte que toutes les molécules se soient vidées de leur énergie 2A.
6. Calculer la fréquence de résonance sachant qu’on a :
E A − E S = 9, 42 × 10
−5 eV
(11)
Solution.
A.1. L’opérateur hamiltonien H est tel que : Hc = Ec, soit sous forme matricielle :
H
w A
w S
=
E A w A
E S w S
=
(E 0 + A) w A
(E 0 − A) w S
(12)
La matrice H a donc pour expression :
H =
E 0 + A
0
0
E 0 − A
(13)
373
Le principe du maser va consister à obliger les molécules qui sont dans
l’état supérieur |w A à restituer leur énergie 2A en retombant dans l’état
voisin inférieur |w S .
1. Pour cela, on soumet le faisceau de molécules dans l’état |w A à un
champ électrique oscillant
− →
E 0 de pulsation v 0 , dans une cavité haute fréquence (figure 15.3) :
−
→
E 0 = E 0 cos v 0 t u
(7)
Les molécules ont leur moment dipolaire parallèle à
− →
E 0 . Écrire l’hamiltonien dépendant du temps pour les molécules soumises au champ
− →
E 0 .
2. L’état d’une molécule en fonction du temps est de la forme :
|c(t) = a(t)|w A + b(t)|w S
(8)
Déterminer le système différentiel linéaire couplé du premier ordre que
vérifient a(t) et b(t).
3. On pose : v = 2A, v 1 = mE 0 / . On effectue le changement de
fonctions :
a(t) = exp[i(E 0 + A)t/ ]a ; b(t) = exp[i(E 0 − A)t/ ]b
(9)
En négligeant dans le système différentiel les termes en exp[−i(v 0 + v)t]
et exp[i(v 0 + v)t], déterminer les solutions a(t) et b(t).
4. La probabilité pour une molécule de se trouver dans l’état w S est égale à
|b(t)|
2 . La probabilité de transition, notée P A→S (t), pour qu’après un temps
t, les molécules dans l’état w A soient passées dans l’état w S , est donnée par :
P A→S (t) = |b(t)|
2
|b(t)|
2
(10)
où b(t) est la solution approximée. Calculer P A→S (t) et montrer que cette
quantité passe par un maximum pour une valeur de v 0 qu’on déterminera.
5. Soit v la vitesse des molécules d’ammoniac. Déterminer la longueur L
de la cavité à haute fréquence dans laquelle s’effectue cette transition de
sorte que toutes les molécules se soient vidées de leur énergie 2A.
6. Calculer la fréquence de résonance sachant qu’on a :
E A − E S = 9, 42 × 10
−5 eV
(11)
Solution.
A.1. L’opérateur hamiltonien H est tel que : Hc = Ec, soit sous forme matricielle :
H
w A
w S
=
E A w A
E S w S
=
(E 0 + A) w A
(E 0 − A) w S
(12)
La matrice H a donc pour expression :
H =
E 0 + A
0
0
E 0 − A
(13)