Exercices
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Solution.
1. Durant l’intervalle de temps Dt, on a :
c n (t) = 1 ; c m =n (t) = 0
( 1 )
Compte tenu de (1), l’équation (15.1.12) se réduit à :
i
dc m (t)
dt
= c n (t) exp(iv
0
m, n t) c
0
m |V
(1)
|c
0
n
(2)
avec v
0
m,n = (E
0
m − E
0
n )/ .
2. Puisque V
(1) est indépendant du temps et qu’on a la condition initiale c m (t = 0) = 0, la
solution de l’équation (2) est :
c m (t) =
1 − exp
i
(E
0
m − E
0
n ) t
E 0
m − E 0
n
c
0
m |V
(1)
|c
0
n
(3)
Une telle expression peut être utilisée pour calculer la probabilité de transition entre les états
|c
0
n et |c
0
m lorsque la durée Dt de la perturbation est petite devant la durée de vie du niveau
|c
0
n .
Exercice 15.3. Maser à ammoniac
La figure 15.2 montre les niveaux d’énergie de retournement de la molécule d’ammoniac illustrée par la figure 1.5. À température ambiante, la
probabilité de trouver la molécule dans un état d’énergie supérieure aux
deux premiers niveaux est très faible. Nous considérerons donc par la suite
uniquement les deux niveaux les plus bas que nous noterons E A et E S .
Nous allons traiter la molécule comme un système à deux états, |w A et
|w S , qui forment une base d’un espace vectoriel E 2 de dimension deux.
Un état quelconque de la molécule s’écrit :
|c = l|w A + m|w S
(1)
On peut écrire sous forme matricielle :
|c = [|w A |w S ]
l
m
(2)
La base étant fixée, on peut écrire le vecteur |c sous forme d’une matrice colonne classique dans laquelle figurent seulement les composantes
du vecteur. On pose ainsi :
|c =
l
m
(3)
A. Molécule d’ammoniac à l’état libre
1. Écrire l’expression de la matrice de l’opérateur hamiltonien H de la
molécule d’ammoniac dans cette base. On utilisera, selon la figure 15.2,
les expressions :
E A = E 0 + A et E S = E 0 − A.